小學奧數數論問題解析：約數與倍數

小學奧數數論問題解析：約數與倍數

　　奧數注重學生分析、解決問題能力的培養，有它獨特的解題思路和方法，快來做做奧數題來鍛煉自己吧!下面是小編為大家收集到的奧數數論問題解析約數與倍數，供大家參考。

　　約數與倍數

　　已知x、y為正整數，且滿足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數和最小公倍數，求所有這樣的數對(x，y ) (x≥y )

　　考點：約數與倍數.

　　分析：此題需分類討論，①當x是y的倍數時，設x=ky(k是正整數).解方程k(y-2)=3;②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①當x是y的倍數時，設x=ky(k是正整數).

　　則由原方程，得

　　kyy-(ky+y)=2y+ky，

　　∵y≠0，

　　∴ky-(k+1)=2+k，

　　∴k(y-2)=3，

　　當k=1時，x=5，y=5;

　　當k=3時，x=9，y=3;

　　②當x不是y的倍數時，令x=ap，y=bp，a，b互質，則q=abp，代入原式

　　得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)

　　當p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件;

　　當p>1時，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)

　　此時，abp-1=(a-1)(b+1)不滿足條件;

　　綜上所述，滿足條件的數對有

　　點評：本題主要考查的`是最大公約數與最小公倍數.由于兩個數的乘積等于這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求兩個數的最小公倍數，就可以先求出它們的最大公約數，然后用上述公式求出它們的最小公倍數.

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