關于數論問題的奧數題
導語：數論問題在奧數競賽中一直是熱點和難點，以下是小編為大家精心整理的關于數論問題的奧數題，歡迎大家參考！
今天的目標是解2004年華杯賽真題，所用知識不超過小學4年級，讓你家小朋友試一試，每天進步一小點：
三個連續正整數，中間一個是完全平方數，將這樣的三個連續正整數相乘，積稱為“美妙數”。問所有的“美妙數”的最大公約數是多少？
該題目屬于數論問題，解題思路可化為以下三道題目：
題目一（簡單）
三個連續正整數，中間一個是完全平方數，將這樣的三個連續正整數相乘，積稱為“美妙數”。請問任意的“美妙數”能否被3整除？
題目二（中等難度）
三個連續正整數，中間一個是完全平方數，將這樣的三個連續正整數相乘，積稱為“美妙數”。請問任意的`“美妙數”能否被4整除？
題目三（進階思考,華杯賽真題）
三個連續正整數，中間一個是完全平方數，將這樣的三個連續正整數相乘，積稱為“美妙數”。問所有的“美妙數”的最大公約數是多少？
以下為答案：
題目一：
答:能。
任意3個連續的數，中間一定有1個是3的倍數。
而“美妙數”是3個連續正整數相乘，一定可以被3整除。
題目二：
答: 能。
假設構成“美妙數”的中間一個數是n*n，對n的奇偶性進行討論：
當n是奇數，n*n-1和n*n+1都是偶數，乘積可以被4整除；
當n是偶數，n*n能被4整除，乘積可以被4整除。
題目三：
答:60。
從題目一和二知道，“美妙數”是3的倍數，也是4的倍數。
又因為完全平方數的最后一位數字只能是1、4、5、6、9、0，將上述數字當作中間數，三個連續的數字中一定有一個可以被5整除。
因此，“美妙數”也是5的倍數。
故：“美妙數”是60=3*4*5的倍數。
又因為最小的美妙數是60，
所以，所有的“美妙數”的最大公約數是60。
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