2016最新的高中函數(shù)的學(xué)習(xí)方法
導(dǎo)語(yǔ)：高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的運(yùn)用是最廣泛的，它可以跟幾何題以及許多數(shù)學(xué)題結(jié)合在一起，那么要怎么樣可以學(xué)好函數(shù)呢，那就用從每一個(gè)細(xì)節(jié)點(diǎn)突破!歡迎閱讀，僅供參考，更多相關(guān)的知識(shí)，請(qǐng)關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)的欄目!
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函數(shù)概念的教學(xué)到底應(yīng)當(dāng)依照怎樣的模式?目前國(guó)際上比較流行的有三種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，它們?cè)噲D描述如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，已經(jīng)被應(yīng)用到函數(shù)的學(xué)習(xí)上。
1.Gagne(1970)的累積式數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，它是奠基在行為主義框架內(nèi)的。他認(rèn)為，學(xué)習(xí)能夠引起行為的改變，改變是可見(jiàn)的，因而是可測(cè)量的。所以，學(xué)過(guò)課題X的證據(jù)是能夠完成一組與X有關(guān)的任務(wù)。他把課題X分解成子課題并把子課題分解成它的先決條件(pre-requisite)。對(duì)于每個(gè)子課題都有一組任務(wù)，它們都能用作掌握該子課題的證據(jù)。先決條件樹(shù)伸展、繼續(xù)伸展直到能夠假設(shè)對(duì)一特定水平的一切任務(wù)都在學(xué)習(xí)者的知識(shí)基礎(chǔ)之內(nèi)。這就是說(shuō)，Gagne建立了一個(gè)任務(wù)的等級(jí)制度(hierarchy)，必須通過(guò)它一步步去掌握一個(gè)特定的課題。當(dāng)然，這種等級(jí)制度和真實(shí)的學(xué)習(xí)并不完全符合。低層次的學(xué)習(xí)是否一定導(dǎo)致下一階段的學(xué)習(xí)還需要更多的證據(jù)，另外，把學(xué)習(xí)任務(wù)分得過(guò)細(xì)有導(dǎo)致低水平細(xì)節(jié)干擾知識(shí)整體把握的危險(xiǎn)，所謂的“見(jiàn)木不見(jiàn)林”。
奧蘇伯爾有“逐漸分化”、“綜合貫通”和“提供先行組織者”的教學(xué)策略。
2.Schoenfeld等認(rèn)為，知識(shí)的獲得必須通過(guò)四種水平的理解：
水平1 關(guān)系到在模式水平上知識(shí)的宏觀結(jié)構(gòu)。例如，在直線方程L：y=mx+b中理解m和b分別表示斜率和y-截距。
水平2 知識(shí)要素的具體界定、特例分析以及對(duì)某些限制條件等──對(duì)知識(shí)的細(xì)節(jié)處理。例如，如果m>0，直線上升，如果|m|大，直線陡，點(diǎn)(0，b)是直線的y-截距，等等。
水平3 和支持知識(shí)的上層結(jié)構(gòu)有關(guān)系──對(duì)知識(shí)聯(lián)系性的處理。比如認(rèn)清過(guò)已知兩點(diǎn)的直線斜率：(y2-y1)/(x2—x1)、能夠考慮作兩個(gè)有向線段之比和認(rèn)清在y=mx+b中當(dāng)x=0時(shí)就得到它的y-截距。
水平4 是在超出熟悉情境和個(gè)體建構(gòu)在水平3上看到的概念要素的時(shí)候──知識(shí)綜合的、創(chuàng)造性的應(yīng)用。
要深刻理解任何一個(gè)課題都必須通過(guò)這些水平。
這個(gè)理論描述的學(xué)習(xí)過(guò)程顯然是從整體到細(xì)節(jié)分化，再到綜合應(yīng)用的路線。這個(gè)理論對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的理解仍然處于“外部描述”。
3.Dubinsky的學(xué)習(xí)理論使皮亞杰理論的各方面適合去掌握數(shù)學(xué)概念。每個(gè)個(gè)體通過(guò)反映性抽象構(gòu)建他自己的數(shù)學(xué)知識(shí)。這個(gè)理論關(guān)心這一途徑：過(guò)程內(nèi)化成常規(guī)，濃縮成概念， (一個(gè)程序跟另一個(gè)程序)協(xié)調(diào)，(反向進(jìn)行)逆和在更廣的范圍內(nèi)一般化。
Dubinsky相信，個(gè)體的數(shù)學(xué)知識(shí)和他對(duì)所見(jiàn)問(wèn)題情境的反應(yīng)傾向有關(guān)，他將根據(jù)自己對(duì)問(wèn)題情境的解釋?zhuān)ㄟ^(guò)(重)建(新)模式去處理這種情境。學(xué)習(xí)是有情節(jié)的。他分析這種情節(jié)并給這門(mén)學(xué)科部分指令去產(chǎn)生他所謂的發(fā)生分解，然后研究發(fā)生分解如何和學(xué)生的模式緊密配合。
在這些理論之間有明顯的相似性。每一種理論都有把學(xué)科分解成學(xué)習(xí)序列的傾向。在序列中，Schoenfeld和Dubinsky試圖確定分解的內(nèi)容和學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變化之間的緊密程度(數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系)。特別地，Dubinsky的公式證明是特別適合于函數(shù)概念的，因?yàn)楹瘮?shù)是(輸入—輸 出)過(guò)程和數(shù)學(xué)對(duì)象的統(tǒng)一體，對(duì)象必須作為概念實(shí)體來(lái)對(duì)待。所以把函數(shù)過(guò)程濃縮為數(shù)學(xué)對(duì)象的技術(shù)似乎和函數(shù)概念的發(fā)展完全匹配。Dubinsky通過(guò)使學(xué)生集中到用合適的語(yǔ)言(它允許把函數(shù)或它們的符號(hào)用作對(duì)象)編制函數(shù)程序的過(guò)程上，用濃縮過(guò)程取得了某種成功。
但此中出現(xiàn)了一個(gè)大問(wèn)題，Dubinsky(1988)是這樣說(shuō)明的：
如果是這種情況，那么就很難描繪如何用一般術(shù)語(yǔ)進(jìn)行學(xué)習(xí)。知識(shí)的狀態(tài)能夠觀察到，但是從一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)就不能了。如Sinclaire(1987)所述，學(xué)習(xí)發(fā)生，但是當(dāng)觀察其發(fā)展時(shí)，必須滿足于在較高的但是固定的狀態(tài)上去看它，由于它的復(fù)雜性不可能去觀察連續(xù)的發(fā)展。只可能去推測(cè)學(xué)生通過(guò)在其口頭或書(shū)面交流中喚醒的概念映象的概念化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以我們?cè)趺床拍軌虼_切地知道學(xué)生有了和函數(shù)定義相關(guān)的、與過(guò)程性函數(shù)概念相反的抽象函數(shù)概念呢?過(guò)程性函數(shù)概念能夠處理在像特定函數(shù)的編程這樣的給定情境中的所有任務(wù)。
發(fā)展Gagne式的等級(jí)制度和發(fā)生分解的“完善結(jié)構(gòu)”的主要問(wèn)題是它們能夠搞得非常復(fù)雜。對(duì)于甚至是最簡(jiǎn)單的任務(wù)必須掌握的先決條件的清單可能搞得非常龐大;課題搞得過(guò)分原子化—全部似乎比它的部分之和大得多。在Gagne的等級(jí)制度中，各分步之間是相互割裂的，在許多情況下似乎都是孤立技巧的匯總。簡(jiǎn)言之，雖然有水準(zhǔn)基點(diǎn)，從它能夠測(cè)量一個(gè)人的函數(shù)知識(shí)，但是內(nèi)容描繪的是其知識(shí)的特定狀態(tài)。雖然一種特殊詞匯似乎正按Schoenfeld等和Dubinsky的方式發(fā)展來(lái)用更一般的術(shù)語(yǔ)討論學(xué)習(xí)，但是注意力主要集中在情節(jié)學(xué)習(xí)和給學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有困難的個(gè)別細(xì)節(jié)處理上。我們很少知道為什么產(chǎn)生這些問(wèn)題，我們也不知道如何保證消除毛病。
下面看對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵要素的理解中的基本問(wèn)題。
三、變量
全面理解變量的內(nèi)涵并不容易。雖然它是數(shù)學(xué)中一切抽象事物的建筑材料，但是許多學(xué)生不知道它的意義。例如，下列情況大家可能經(jīng)歷過(guò)：先讓學(xué)生解一個(gè)以x為變量的方程;再讓學(xué)生去解只改變變量名稱(chēng)(如以y為變量名)的“新”方程。盡管在學(xué)生面前有原問(wèn)題的解，但還是會(huì)有相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生仍然從頭開(kāi)始，甚至部分高中學(xué)生也有類(lèi)似的情況。這些學(xué)生把變量名字的改變看作產(chǎn)生了一個(gè)全新的問(wèn)題，先前的解答過(guò)程并遷移到當(dāng)前的情景中來(lái)。為什么沒(méi)有出現(xiàn)遷移，特別是對(duì)“變量”這種具有一般意義的基本思想方法?這是一個(gè)非常值得研究的問(wèn)題。請(qǐng)大家考慮一下，為什么變量概念的理解存在如此大的困難?
在教學(xué)實(shí)踐中，教師常常對(duì)變量概念的理解困難估計(jì)不足，有的老師甚至從來(lái)就沒(méi)有考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題，實(shí)際做法是教師僅僅給出變量(因變量、自變量等)這個(gè)詞匯，僅此而已，至于學(xué)生腦子中的變量概念會(huì)是怎樣的，通過(guò)定義能否使變量概念得到發(fā)展，這些很少顧及。大家不妨以“你認(rèn)為什么叫變量”為題，問(wèn)問(wèn)學(xué)生。實(shí)際上，變量概念的學(xué)習(xí)并不象我們?cè)诤诎迳蠈?xiě)定義這么簡(jiǎn)單。“學(xué)生考慮作概念的例子的一組數(shù)學(xué)對(duì)象不必和由定義確定的一組數(shù)學(xué)對(duì)象一樣”，更加嚴(yán)重的問(wèn)題是，對(duì)“變量”這樣抽象的概念如果得不到恰當(dāng)?shù)木唧w例子的支持，學(xué)生將無(wú)法真正理解它。對(duì)于這一點(diǎn)，已經(jīng)理解了變量概念的老師似乎很少注意它。 教師常常被“自動(dòng)化”阻塞了頓悟的通道，“掌握一種活動(dòng)如此完善以至如何和為什么的問(wèn)題(學(xué)生尚不理解它們)不再問(wèn)，不再把它理解為有意義和有關(guān)系的問(wèn)題了”。教師往往按照自己的理解水平進(jìn)行教學(xué)。
例如，三角函數(shù)中的任意角概念，許多老師可能會(huì)想，我用一個(gè)教具，順時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)再逆時(shí)針轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，學(xué)生就理解了什么叫“任意角”，沒(méi)有遇到什么困難呀。真的這樣嗎?我們認(rèn)為，是否真正理解，還是要看學(xué)生能否在后續(xù)學(xué)習(xí)中自覺(jué)地應(yīng)用“任意角”這個(gè)概念。大家可以回憶一下，學(xué)生掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)等內(nèi)容時(shí)所出現(xiàn)的問(wèn)題到底是怎樣產(chǎn)生的。(書(shū)中42頁(yè)到43頁(yè))
四、函數(shù)、圖象和形象化
雖然大多數(shù)學(xué)生能夠作簡(jiǎn)單的圖象，但是他們常常把函數(shù)圖象看成為函數(shù)之外的東西，沒(méi)有把它當(dāng)成函數(shù)的一個(gè)有機(jī)組成部分來(lái)對(duì)待。更有甚者，他們可能錯(cuò)誤地對(duì)待他們自己畫(huà)的函數(shù)圖象上的數(shù)據(jù)。實(shí)際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“畫(huà)個(gè)直觀圖形”是非常重要的。例如：
角為100°，34°，46°的三角形的外接圓半徑為8.5cm，求內(nèi)切圓的半徑。
解這個(gè)題目時(shí)，畫(huà)出草圖對(duì)解答會(huì)有很大幫助。但許多學(xué)生草圖畫(huà)得不正確，而且再也不用它。
另一些問(wèn)題：求過(guò)點(diǎn)(5，5)與圓相切的切線方程;
求直線切于x=3時(shí)的a和b的值;
解不等式：，等等。
這些問(wèn)題的解答，相當(dāng)多的學(xué)生都用解析方法，而沒(méi)有把它們與圖形表示聯(lián)系起來(lái)。數(shù)與形式數(shù)學(xué)的兩方面，有了直角坐標(biāo)系以后，數(shù)與形統(tǒng)一了，因此，用圖象方法看函數(shù)的許多方面(各種性質(zhì))似乎很自然。但是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)情況并非如此。他們好像只靠解析地處理信息和解練習(xí)題，而不靠形象的方法。所以，要使學(xué)生把函數(shù)與圖象自覺(jué)地聯(lián)系起來(lái)，把函數(shù)的圖象作為函數(shù)概念的一個(gè)有機(jī)組成部分并不容易。實(shí)際上，學(xué)生的形象化意識(shí)(數(shù)形結(jié)合思想)的形成需要很長(zhǎng)的過(guò)程。
教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生不會(huì)用圖象來(lái)解釋問(wèn)題，而且即使他們畫(huà)出了圖象，也不能正確地解釋圖象，即他們不理解圖象描繪的自變量和因變量之間的關(guān)系。例如，對(duì)于不等式|x|>1的解，學(xué)生能夠用實(shí)數(shù)軸上的圖形(一維)加以解釋?zhuān)笏麄冊(cè)谥苯亲鴺?biāo)系內(nèi)用圖形來(lái)表示，很多學(xué)生會(huì)感到困難。另一個(gè)例子是，解一元二次不等式，很多學(xué)生習(xí)慣于轉(zhuǎn)化為，然后按照兩個(gè)因式同號(hào)的方法來(lái)轉(zhuǎn)化。再如，學(xué)生很不習(xí)慣把函數(shù)變換等與圖形變換(如軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)等)聯(lián)系起來(lái)。
中學(xué)的函數(shù)概念發(fā)展需要形象化的支持，發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力是發(fā)展函數(shù)概念、獲得對(duì)函數(shù)概念的深刻理解的重要途徑，作為代數(shù)的函數(shù)概念與作為幾何的函數(shù)圖像的緊密結(jié)合也是發(fā)展關(guān)于函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主要途徑。通過(guò)強(qiáng)調(diào)函數(shù)的形象表示可以減少函數(shù)概念的學(xué)習(xí)困難。另外，直觀和形象化技能也是可以訓(xùn)練的。
五、抽象、符號(hào)和焦慮
函數(shù)及其相應(yīng)的.子概念具有抽象的各種程度。隨機(jī)地打開(kāi)任何一本數(shù)學(xué)雜志或者教科書(shū)，數(shù)學(xué)符號(hào)和公式會(huì)隨處可見(jiàn)。學(xué)生常常會(huì)瀏覽這一頁(yè)看看符號(hào)和公式是否熟悉。如果其中有許多是他們不認(rèn)識(shí)的，那么他們的腦子里立即會(huì)蹦出一個(gè)字：難!他們會(huì)想，需要花多少時(shí)間和精力才能理解所寫(xiě)的是什么呀!這會(huì)引起學(xué)生的焦慮。而且這種感受在我們的學(xué)生中比較普遍。我們知道，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的這種感覺(jué)主要是因?yàn)閿?shù)學(xué)語(yǔ)言與他們熟悉的日常語(yǔ)言之間的差異很大，數(shù)學(xué)語(yǔ)言具有最大的抽象性，抽象是數(shù)學(xué)研究的一切。這種抽象性和它在課堂里的快速推進(jìn)常常是造成許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失敗的主要原因。雖然抽象有層次性，例如函數(shù)概念就可以在各種不同的抽象水平得到表述。但是，對(duì)于自己已經(jīng)熟悉了的內(nèi)容，教師經(jīng)常不去分水平，“這還不容易嗎”是我們經(jīng)常聽(tīng)到的。例如，“兩角和與差的三角函數(shù)”中，得到再求，需要用一個(gè)同余變換，老師常常認(rèn)為這是非常容易的，但從我的實(shí)踐看，情況并非如此。心理學(xué)的研究表明，教師在教學(xué)中出現(xiàn)的這種情況比較普遍，他們已經(jīng)掌握這個(gè)課題并且也期望他們的學(xué)生及時(shí)這樣做。實(shí)際上，教師水平的高低、功夫深淺的標(biāo)志之一就是能否“從學(xué)生的角度看問(wèn)題”，這也是對(duì)學(xué)生的要求把握在一個(gè)怎樣的“度”上的問(wèn)題。“欲速則不達(dá)”是常識(shí)，但在實(shí)踐中卻很難把握。更加值得注意的問(wèn)題是，如果數(shù)學(xué)教師把那種“這太容易了”的意思通過(guò)某種方式(常常在無(wú)意時(shí)下，在不經(jīng)意之間)傳達(dá)給學(xué)生，而學(xué)生又確實(shí)感到不容易時(shí)，那么學(xué)生會(huì)放棄努力，在開(kāi)始學(xué)習(xí)之前就泄氣了。心理學(xué)把學(xué)生出現(xiàn)的這種情緒叫做數(shù)學(xué)恐懼癥或焦慮，而且這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失敗的原因之一，即在很多情況下，學(xué)習(xí)失敗是感情(情緒)原因而不是認(rèn)知原因。當(dāng)然，數(shù)學(xué)焦慮不僅是學(xué)生的事情，數(shù)學(xué)教師甚至數(shù)學(xué)家也有他感覺(jué)不舒服的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
雖然數(shù)學(xué)焦慮是多方面的，但符號(hào)的復(fù)雜性常常是理解函數(shù)概念的障礙。符號(hào)問(wèn)題過(guò)去不太被注意，現(xiàn)在國(guó)外有專(zhuān)門(mén)的論述，把它稱(chēng)為“數(shù)學(xué)表示”符號(hào)困難在初等數(shù)學(xué)的每個(gè)地方都潛伏著。在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，符號(hào)引起的學(xué)習(xí)困難常常表現(xiàn)在如下的一些方面：
1.所造成的理解困難。
我們知道，它表示的是這樣的一個(gè)“過(guò)程”與“結(jié)果”的統(tǒng)一體：x在函數(shù)f下的對(duì)應(yīng)值為y，而且這里的f必須是一個(gè)映射，這個(gè)符號(hào)的內(nèi)涵非常豐富，而且也非常復(fù)雜。實(shí)際上，許多學(xué)生在高中畢業(yè)了也沒(méi)有真正搞明白到底是個(gè)什么。在我們的教科書(shū)中，映射被表示成f：AB，它抓住了映射的動(dòng)態(tài)的一面。如果學(xué)生能夠把函數(shù)真正理解為一種特殊的映射(非常遺憾，許多學(xué)生并不這樣看)，那會(huì)有利于全面而深刻地理解函數(shù)，并對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)也有好的作用。例如，它有利于理解復(fù)合函數(shù)，而且它還能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步理解自變量概念。這樣，學(xué)生在討論函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題就會(huì)減少一些困難。再如，已知，那么使的x值是多少?許多學(xué)生解這個(gè)問(wèn)題的時(shí)會(huì)出現(xiàn)困難。但如果把問(wèn)題的敘述方式改變一下：函數(shù)f(x)以2、4為零點(diǎn)，那么，多少乘4可以使f(x)=0?由于文字語(yǔ)言把對(duì)應(yīng)關(guān)系敘述的具體明確了，引導(dǎo)了學(xué)生的思維，學(xué)生解決此問(wèn)題的困難就大大降低了。數(shù)學(xué)問(wèn)題的用詞會(huì)影響學(xué)生回答問(wèn)題的能力。因此，在教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常要求學(xué)生用自己的語(yǔ)言重新敘述問(wèn)題是減輕數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象程度的一個(gè)有效手段。
我們?cè)賮?lái)看一下學(xué)生對(duì)函數(shù)定義的理解。實(shí)際上，造成上述求零點(diǎn)問(wèn)題困難的原因仍然在對(duì)函數(shù)定義的理解上：“對(duì)于A中的任意一個(gè)數(shù)，在B中有唯一的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)”，這里的“任意”二字是不容易把握的，實(shí)際上，學(xué)生常常不能認(rèn)識(shí)到，函數(shù)把定義域中的每個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)換到新的數(shù)值。直到理解這一點(diǎn)以前，像已知f(x)的零點(diǎn)求f(kx)的零點(diǎn)這樣的問(wèn)題就不能夠充分地理解。
2.用參數(shù)形式來(lái)把函數(shù)形象化也證明是極端困難的。
例如，考慮下列問(wèn)題：
對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)x，f(x)是數(shù)的最小值.f(x)的最大值是什么?
問(wèn)題中涉及到三個(gè)量，可以從參數(shù)的角度看待它們，如令y1=4x+1，y2=x+2，y3=-2x+4，而f(x)=min{y1，y2，y3}。這時(shí)，如果將上述三個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)，也即利用參數(shù)將函數(shù)形象化，那么，問(wèn)題將迎刃而解。但實(shí)踐表明，學(xué)生的困難很大。
3.反函數(shù)學(xué)習(xí)中的困難。
反函數(shù)的學(xué)習(xí)中，符號(hào)的理解困難是眾所周知的。為什么會(huì)有如此大的困難?從數(shù)學(xué)思維的角度看，這里涉及了逆向思維的使用問(wèn)題，人有思維定勢(shì)，從另一個(gè)角度思考問(wèn)題是困難的，逆向思考問(wèn)題就更不容易了。例如，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的下列問(wèn)題：已知f(g(x))和f(x)求g(x);或已知f(g(x))和g(x)求f(x)的解決，涉及到逆向思維。
(已知，求的值之類(lèi)的問(wèn)題，學(xué)生可能會(huì)解答，但對(duì)于其中的深層次問(wèn)題，如涉及函數(shù)性質(zhì)方面的，可能就不一定清楚。)
另外，由于反函數(shù)實(shí)際上是對(duì)一類(lèi)特殊的映射(一一映射)的研究，涉及了許多復(fù)雜的概念及其關(guān)系(必須把函數(shù)與其相應(yīng)的反函數(shù)作為一整體)，有許多限制條件，這也是造成學(xué)習(xí)困難的重要原因。
這里又涉及到對(duì)變量概念的理解問(wèn)題。與表示的是同一個(gè)函數(shù)，只是因?yàn)榱?xí)慣使然，數(shù)學(xué)中一般使用來(lái)表示反函數(shù)。這對(duì)教師來(lái)說(shuō)不成問(wèn)題，但對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，問(wèn)題是非常大的。從根子上來(lái)說(shuō)，仍然是對(duì)變量概念的理解和把握有困難。即便他們常常有求解反函數(shù)所需要的一切技能，學(xué)生仍然需要時(shí)間來(lái)內(nèi)化這些技能包括用這種方法處理函數(shù)。在教師的頭腦中必須總是有認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于自動(dòng)性的告誡：數(shù)學(xué)概念對(duì)學(xué)生不是自明的，即使經(jīng)過(guò)我們對(duì)它們的清楚說(shuō)明。
六、表達(dá)性困難
教學(xué)實(shí)踐表明，對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，符號(hào)、記號(hào)等等越多就越復(fù)雜，實(shí)際上對(duì)教師自己來(lái)說(shuō)也是這樣的。
符號(hào)常常是學(xué)生出問(wèn)題的原因，即便符號(hào)所表示的基本思想是簡(jiǎn)單的，而對(duì)于函數(shù)這樣的具有多樣性、豐富性和復(fù)雜性的概念的符號(hào)表示則更是如此。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)焦慮，常常是因?yàn)?過(guò)分熱衷于使用符號(hào)和抽象的“心智”過(guò)程而而引起。當(dāng)人們看到通篇都是數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)學(xué)著作時(shí)，產(chǎn)生“頭都大了”的感覺(jué)是非常自然的。數(shù)學(xué)家說(shuō)，好的數(shù)學(xué)不必是復(fù)雜的數(shù)學(xué)，而復(fù)雜的數(shù)學(xué)也不一定是好數(shù)學(xué)。愛(ài)因斯坦的能量轉(zhuǎn)換公式E=cm2非常簡(jiǎn)單，但它卻表達(dá)了宇宙中質(zhì)量和能量之間的最本質(zhì)關(guān)系。但是，在數(shù)學(xué)上，雖然人們覺(jué)得選擇不太復(fù)雜而且更直觀的符號(hào)表述是自然的事情，遺憾的是，過(guò)去的似乎并不這樣。
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