關(guān)于冪級數(shù)求和的探討
導(dǎo)語：冪級數(shù)是高等數(shù)學課程中非常重要的知識點，而其中有關(guān)冪級數(shù)求和問題是這部分內(nèi)容的重點和難點.以下是小編給大家整理的大學數(shù)學，歡迎大家參考！
例1 求冪級數(shù)∑∞[]n=0xn[]n+1的和函數(shù).
解 先求收斂域.由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收斂半徑R=1.
在端點x=-1處，冪級數(shù)成為∑∞[]n=0（-1）n[]n+1，是收斂的交錯級數(shù)；
在端點x=1處，冪級數(shù)成為∑∞[]n=01[]n+1，是發(fā)散的.因此收斂域為I=[-1，1].
設(shè)和函數(shù)為s（x），即
s（x）=∑∞[]n=0xn[]n+1，x∈[-1，1）.（1）
于是
xs（x）=∑∞[]n=0xn+1[]n+1.（2）
利用性質(zhì)3，逐項求導(dǎo)，并由
1[]1-x=1+x+x2+…+xn+…，（-1 得
[xs（x）]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1-x，（|x|<1）.（4）
對上式從0到x積分，得
xs（x）=∫x01[]1-xdx=-ln（1-x），（-1≤x≤1）.（5）
于是，當x≠0時，有s（x）=-1[]xln（1-x），
而s（0）可由s（0）=a0=1得出，
故
s（x）=-1[]xln（1-x），x∈[-1，0）∪（0，1），
1，x=0.（6）
一、錯誤及原因分析
1.忽略冪級數(shù)的起始項
例如在求解冪級數(shù)∑∞[]n=1xn的和函數(shù)時，有學生就很容易將其和函數(shù)寫為s（x）=1[]1-x，而事實上其和應(yīng)該為s（x）=x[]1-x.該錯誤產(chǎn)生的原因在于學生忽略了冪級數(shù)的起始項，習慣性的把第一項默認為1.
2.忽略和函數(shù)的定義域
產(chǎn)生該錯誤的原因，主要是學生對和函數(shù)的概念理解不透徹.無窮多項求和其和并不總是存在的，即不總是收斂的，所以在求和函數(shù)時，首先要判斷在哪些點處和是存在的，這些點的集合就是和函數(shù)的定義域，即冪級數(shù)的收斂域.
3.錯誤地給出和函數(shù)的定義域，即冪級數(shù)的收斂域
該錯誤的產(chǎn)生主要源于利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)時，忽略了收斂域的變化.上述例子中的（5）式就出現(xiàn)了這方面的錯誤.
4.忽略了收斂域中的特殊點
在上述例子式中，利用（5）求s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時，當x≠0時，才有s（x）=-1[]xln（1-x），因此，對x=0還要單獨求解s（0）.
二、求冪級數(shù)和函數(shù)時應(yīng)注意的問題及應(yīng)對措施
1.標注和函數(shù)的定義域
和函數(shù)的定義域不同于一般函數(shù)的定義域，其定義域事實上為與和函數(shù)相對應(yīng)的冪級數(shù)的收斂域，因此在和函數(shù)表達式之后應(yīng)正確標注x的取值范圍，即和函數(shù)的定義域.為避免在這里出現(xiàn)錯誤，在求解和函數(shù)時，應(yīng)首先求出所求冪級數(shù)的收斂域.嚴格按照先求收斂域再求和函數(shù)的步驟求解能很好地解決這一問題（參看教材[1]中例6）.
2.注意收斂域與級數(shù)的匹配
利用和函數(shù)的分析性質(zhì)求解和函數(shù)是解決冪級數(shù)求和的重要方法，尤其是教材[1]中的性質(zhì)2和性質(zhì)3，簡稱為逐項求積和逐項求導(dǎo).但這兩條性質(zhì)都只說明變化后的級數(shù)其收斂半徑不發(fā)生變化，未對收斂域的情況進行詳細說明.事實上，逐項積分后所得冪級數(shù)的收斂域有可能擴大，即有可能把收斂區(qū)間的端點包含進來；逐項求導(dǎo)后所得冪級數(shù)的收斂域有可能縮小，即有可能把收斂域的端點去掉.應(yīng)對這一問題，只需要在利用逐項求導(dǎo)和逐項求積時，對端點處的收斂性重新判斷即可.
3.注意等式變化過程中x的取值問題
比如在（5）式中，求解s（x）時，需要在等式兩邊同時除以x.此時x不能取零，但x=0又是收斂域中的點，因此需單獨求解s（0）.對這一問題，需要在等式變化過程中，關(guān)注x的取值變化.對收斂域中不能取到的點x0，應(yīng)單獨求解s（x0）.可用以下兩種方法，方法一：求解x=x0時對應(yīng)的常數(shù)項級數(shù)的和.方法二：利用和函數(shù)的連續(xù)性求解x=x0時對應(yīng)的常數(shù)項級數(shù)的和.
【冪級數(shù)求和的探討】相關(guān)文章：
祈求和平作文10-10
教你WPS表格求和的方法11-11
數(shù)列求和的基本方法和技巧10-05
如何讓Excel表格行列自動求和11-27
關(guān)于wps中怎樣快速的求和10-08
不要苛求和擔憂命運哲理故事10-20
如何使用Excel表格行列自動求和10-05
英語日記的日期、格式要求和類型10-05
高中數(shù)學數(shù)列求和方法11-07