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    二次函數拋物線的性質

    時間:2022-10-02 17:30:00 初中數學

    二次函數拋物線的性質

      導語:二次函數的圖象似拋物體經過的路線,故命其圖象名為"拋物線".以下是小編為大家精心整理的二次函數拋物線的性質,歡迎大家參考!

      1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

      對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

      特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

      2.拋物線有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

      當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

      3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

      當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

      |a|越大,則拋物線的開口越小。

      4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

      當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同號

      當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要異號

      可簡單記憶為左同右異,即當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

      事實上,b有其自身的幾何意義:拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

      5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

      拋物線與y軸交于(0,c)

      6.拋物線與x軸交點個數

      Δ= b^2;-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

      Δ= b^2;-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

      _______

      Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)

      當a>0時,函數在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b x="">-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

      當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函數是偶函數,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

      7.特殊值的形式

      ①當x=1時 y=a+b+c

      ②當x=-1時 y=a-b+c

      ③當x=2時 y=4a+2b+c

      ④當x=-2時 y=4a-2b+c

      8.定義域:R

      值域:(對應解析式,且只討論a大于0的情況,a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a,正無窮);②[t,正無窮)

      奇偶性:偶函數

      周期性:無

      解析式:

      ①y=ax^2+bx+c[一般式]

      ⑴a≠0

      ⑵a>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;

      ⑶極值點:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);

      ⑷Δ=b^2-4ac,

      Δ>0,圖象與x軸交于兩點:

      ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);

      Δ=0,圖象與x軸交于一點:

      (-b/2a,0);

      Δ<0,圖象與x軸無交點;

      ②y=a(x-h)^2+k[頂點式]

      此時,對應極值點為(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;

      ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

      對稱軸X=(X1-X2)/2 當a>0 且Xㄒ(X1+X2)/2時,Y隨X的增大而增大,當a>0且Xㄑ(X1+X2)/2時Y隨X的增大而減小

      此時,x1、x2即為函數與X軸的兩個交點,將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。

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