2016關(guān)于高二數(shù)學(xué)拋物線的幾何性質(zhì)
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定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數(shù)。 二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系： h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1，x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a 二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，
可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x=-b/2a。 對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P[-b/2a，(4ac-b^2;)/4a]。 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時(shí)
(即ab>0)，對稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號時(shí)(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。 拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 Δ=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。
二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)， 即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。 函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 畫拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。
二次函數(shù)解析式的幾種形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0). (2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a，h，k為常數(shù)，a≠0). (3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程
ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0. 說明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)，h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2;如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k
定義與定義表達(dá)式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c
(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量，y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k
③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：
①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系
對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系
x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
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