高中數學不等式與不等式組知識點
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1不等式與不等式組的數軸穿根解法
數軸穿根：用根軸發解高次不等式時，就是先把不等式一端化為零，再對另一端分解因式，并求出它的零點，把這些零點標在數軸上，再用一條光滑的曲線，從x軸的右端上方起，一次穿過這些零點，這大于零的不等式地接對應這曲線在x軸上放部分的實數x得起值集合，小于零的這相反。
做法：
1.把所有X前的系數都變成正的(不用是1,但是得是正的);
2.畫數軸,在數軸上從小到大依次標出所有根;
3.從右上角開始,一上一下依次穿過不等式的根，奇過偶不過(即遇到含X的項是奇次冪就穿過,偶次冪跨過，后面有詳細介紹);
4.注意看看題中不等號有沒有等號,沒有的話還要注意寫結果時舍去使使不等式為0的根。
例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次項系數一定要為正，不為正要化成正的)
⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;
⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;
⒊畫數軸,并把根所在的點標上去;
⒋注意了,這時候從最右邊開始,從2的右上方引出一條曲線,經過點2，繼續向左畫,類似于拋物線，再經過點1，向點1的左上方無限延伸;
⒌看題求解,題中要求求≤0的解，那么只需要在數軸上看看哪一段在數軸及數軸以下即可,觀察可以得到：1≤x≤2。
高次不等式也一樣.比方說一個分解因式之后的不等式：
x(x+2)(x-1)(x-3)>0
一樣先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根
x=0，x=1，x=-2，x=3
在數軸上依次標出這些點.還是從最右邊的一點3的右上方引出一條曲線,經過點3,在1、3之間類似于一個開口向上的拋物線，經過點1;繼續向點1的左上方延伸，這條曲線在點0、1之間類似于一條開口向下的曲線，經過點0;繼續向0的左下方延伸，在0、-2之間類似于一條開口向上的拋物線，經過點-2;繼續向點-2的左上方無限延伸。
方程中要求的是>0，
只需要觀察曲線在數軸上方的部分所取的x的范圍就行了。
x<-2或03。
⑴遇到根是分數或無理數和遇到整數時的處理方法是一樣的,都是在數軸上把這個根的位置標出來;
⑵“奇過偶不過”中的“奇、偶”指的是分解因式后,某個因數的指數是奇數或者偶數;
比如對于不等式(X-2)2(X-3)>0
(X-2)的指數是2,是偶數,所以在數軸上畫曲線時就不穿過2這個點，
而(X-3)的指數是1,是奇數,所以在數軸上畫曲線時就要穿過3這個點。
1高中數學不等式與不等式組的解法
1.一元一次不等式的解法
任何一個一元一次不等式經過變形后都可以化為ax>b或axb而言，當a>0時，其解集為(ab，+∞)，當a<0時，其解集為(-∞，ba)，當a=0時，b<0時，期解集為R，當a=0，b≥0時，其解集為空集。
例1：解關于x的不等式ax-2>b+2x
解：原不等式化為(a-2)x>b+2
①當a>2時，其解集為(b+2a-2，+∞)
②當a<2時，其解集為(-∞，b+2a-2)
③當a=2，b≥-2時，其解集為φ
④當a=2且b<-2時，其解集為R.
2.一元二次不等式的解法
任何一個一元二次不等式都可化為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判別式法來判斷解集的各種情形(空集，全體實數，部分實數)，如果是空集或實數集，那么不等式已經解出，如果是部分實數，則根據“大于號取兩根之外，小于號取兩根中間”分別寫出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)
解：△=16-16a
①當a>1時，△<0，其解集為R
②當a=1時，△=0，則x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)
③當a<1時，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)
3.不等式組的解法
將不等式中每個不等式求得解集，然后求交集即可.
例3：解不等式組m2+4m-5>0(1)
m 2+4m-12<0(2)
解：由①得m<-5或m>1
由②得-6，故原不等式組的解集為(-6，-5)∪(1，2)
4.分式不等式的解法
任何一個分式不等都可化為f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后討論分子分母的符號，得兩個不等式組，求得這兩個不等式組的解集的并集便是原不等式的解集.
例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2
解：原不等式化為：3x2-x-4-x2-1>0
它等價于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0
解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).
故原不等式的解集為(-1，43).
5.含有絕對值不等式的解法
去絕對值號的主要依據是：根據絕對值的定義或性質，先將含有絕對值的不等式中的絕對值號去掉，化為不含絕對值的不等式，然后求出其解集即可。
(1)|x|>a(a>0)?x>a或x<-a.
(2)|x|0)?-a解：原不等式等價于3xx2-4≥1，①或3xx2-4≤-1②
解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2
故原不等式的解集為[-4，-2)∪(-2，-1]∪[1，2)∪(2，4].
例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1
解：原不等式等價于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②
解①得{x|x<1}，解②得{x|12g(x)和|f(x)|a和|x| 例7：解不等式|x+1|+|x|<2
解：①當x≤-1時，原不等式變為-x-1-x<2 ∴-32 ②當-1 ∴-1 ③當x>0時，原不等式變為x+1+x<2.
∴解得0 綜合①，②，③知，原不等式的解集為{x|-32 例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2
解：①當x≤1時，原不等式變為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時解集為{x|x<12}.
②當12，此時解集為空集。
③當22，此時的解集是空集。
④當x>3時，原不等式化為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時的解集為{x|x>3}.
綜合①②③④可知原不等式的解集為{x|x≤12}∪{x|x>3}.從以上兩個例子可以看出，解含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式，一般是先找出一些關鍵數(如例7的關鍵數是-1，0;例8中的關鍵數是1，2，3)這些關鍵數將實數劃分為幾個區間，在這些區間上，可以根據絕對值的意義去掉絕對值號，從而轉化為不含絕對值的不等式，應當注意的是，在解這些不等式時，應該求出交集，最后綜合各區間的解集寫出答案。
6.無理不等式的解法
無理不等式f(x)>g(x)的解集為不等式組(I)f(x)≥[g(x)] 2f(x)≥0g(x)≥0和(II)f(x)≥0g(x)<0的解集的并集.
無理不等式f(x)0)的解集為不等式組f(x)≥0f(x)<[g(x)] 2g(x)>0的解集.
例9：解不等式：2x+5-x-1>0
解：原不等式化為：2x+5>x+1 由此得不等式組(I)2x+5≥0x+1<0或(II)2x+5≥0x+1≥02x+5>(x+1)2
解(I)得-52≤x<-1，解(II)得-1≤x<2
故原不等式的解集為[-52，2].
7.指數不等式的解法
根據指數函數的單調性來解不等式。
例10.解不等式：9x>(3)x+2
解：原不等式化為 3 2x>3x+22
∴2x>x+22即x>23
故原不等式解集為(23 ，+∞).
8.對數不等式的解法
根據對數函數的單調性來解不等式。
例11：解不等式：log12(x+1)(2-x)>0
解：原不等式化為log12(x+1)(2-x)>log121
∴ (x+1)(2-x)>0 (1)(x+1)(2-x)<1 (2)
解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52
故原不等式解集(-1，1-52)∪(1+52，2).
9.簡單高次不等式的解法
簡單高次不等式可以利用數軸標根法來解不等式.
例12：解不等式(x+1)(x 2-5x+4)<0
解：原不等式化為：(x+1)(x-1)(x-4)<0
如圖，由數軸標根法可得原不等式解集為(-∞，-1)∪(1，4)
10.三角不等式的解法
根據三角函數的單調性，先求出在同一周期內的解集，然后寫出通值。
例13：解不等式：sinx≤-12
解：sinx≤-12在[0，2π]內的解是：76 π≤x≤116π
故原不等式的解集為[2kπ+76 ，2kπ+116 ](k∈z)。
11.含有字母系數不等式的解法
在解不等式過程中，還常常遇到含有字母系數的一些不等式，此時，一定要注意字母系數進行討論，以保證解題的完備性。
例14：解不等式2 3x-2x 解：原不等式變形為2 2x(2 2x-1) ∴(2 2x-1) (2 2x-a)<0
∴原不等式等價于2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0
①當a≤0時，x<0;
②當0 ③當a=1時，無解
④當a>1時，0 解不等式的基礎是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式組成的不等式組。解其它各式各樣的不等式(三角不等式除外)關鍵在于根據有關的定義，定理，性質轉化這些不等式為上述三類不等式。在具體轉化的過程中，特別應該注意每一步都應是同解變形。像無理不等式中的開偶次方時的被開方數及對數不等式中的真數等，在去根號和去對數符號時，一定要使被開方數非負，真數大于零。
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