數學七年級下冊二元一次方程組性質
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第一章 二元一次方程組
一、二元一次方程組 1、概念：
①二元一次方程：含有兩個未知數，且未知數的指數(即次數)都是1的方程，叫二元一次方程。 ②二元一次方程組：兩個二元一次方程(或一個是一元一次方程，另一個是二元一次方程;或兩個都是一元一次方程;但未知數個數仍為兩個)合在一起，就組成了二元一次方程組。 2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解：
使二元一次方程左右兩邊的值相等(即等式成立)的兩個未知數的值，叫二元一次方程的解。 使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫二元一次方程組的解。 注：①、因為二元一次方程含有兩個未知數，所以，二元一次方程的解是一組(對)數，用大括號聯立;②、一個二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組;③、而二元一次方程組的解是其中兩個二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數組或無解(即無公共解)。 二元一次方程組的解的討論：
a1x + b1y = c1 已知二元一次方程組
a2x + b2y = c2
①、 ②、 ③、
當a1/a2 ≠ b1/b2 時，有唯一解; 當a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2時，無解; 當a1/a2 = b1/b2 = c1/c2時，有無數解。
x + y = 4 2x + 2y = 8
x + y = 4 x + y = 3 例如：對應方程組：①、 ②、 ③、 3x - 5y = 9 2x + 2y = 5
例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組：
a + b = 2 ②、 x = 4 ③、3t + 2s = 5 ④、 x = 11 ①、
b + c = 3 y = 5 ts + 6 = 0 2x + 3y = 0
3、用含一個未知數的代數式表示另一個未知數：
用含X的代數式表示Y，就是先把X看成已知數，把Y看成未知數;用含Y的代數式表示X，則相當于把Y看成已知數，把X看成未知數。
例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代數式表示y為：___________,用含y的代數式表示x為:____________。 4、根據二元一次方程的定義求字母系數的值：
要抓住兩個方面：①、未知數的指數為1，②、未知數前的系數不能為0
例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是關于x、y的二元一次方程，求a、b的值。 5、求二元一次方程的整數解
例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整數解。
思路：利用含一個未知數的代數式表示另一個未知數的方法，可以求出方程有正整數解時x、y的取值范圍，然后再進一步確定解。
解：用含x的代數式表示y: y = 9/2 – (3/4)x 用含y的代數式表示x: x = 6 – (4/3)y 因為是求正整數解，則：9/2 – (3/4)x > 0 , 6 – (4/3)y > 0 所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2
所以，當 y = 1時，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去 ; 當 y = 2時，x = 6 – 8/3 = 10/3 ，舍去 ;當 y = 3時，x = 6 – 12/3 = 2 , 符合 ; 當 y = 4時，x = 6 – 16/3 = 2/3 ，舍去 。 所以，3x + 4y = 18 的正整數解為： x = 2
y = 3
x = 3 是方程組 ax - 2y = 5 的解，求 a-b 的值。 再例：①、如果 y = - 1 2x + by = 3
ax + 5y = 15,① 由于甲看錯了方程①中的a，得到的方程組的解 ②、甲、乙兩人共解方程組 4x - by = -2,②
x = - 3, 乙看錯了方程②中的b，得到的方程組的解為 x = 5, 試計算為 a^2009 + y = - 1, y = 4,
(-b/10)^2010的值。 二、二元一次方程組的解法——消元 (整體思想就是：消去未知數，化“二元”為“一元”)
1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數用含另一未知數的式子表示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。 注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為：
①、從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程的一個未知數用含另一個未知數的代數式表示出來;
②、將變形后的關系式代入另一個方程(不能代入原來的方程哦!)，消去一個未知數，得到一個一元一次方程;
③、解這個一元一次方程，求出一個未知數的值;
④、將求得的未知數的值代入變形后的關系式(或原來的方程組中任一個方程)中，求出另一個未知數的值;
⑤、把求得的兩個未知數的值用大括號聯立起來，就是方程組的解。
2、加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數前的.系數相反或相等(或利用等式的性質可變為相反或相等)時，將兩個方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法。 注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為：
①、方程組的兩個方程中，如果同一個未知數前的系數既不相反又不相等時，就根據等式的性質，用適當的數乘以方程的兩邊(注意，左右兩邊每一項都要乘以這個數)，使同一未知數前的系數相反或相等;
②、把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程; ③、解這個一元一次方程，求得一個未知數的值;
④、將這個求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，并把求得的兩個未知數的值用大括號聯立起來，就是方程組的解。
例：解方程組：
4y–(2y + x + 16)/2 = -6x ①、 ②、 x/2 + y/3 = 13/2
2y + 3x = 7 – 2x - y x/3– y/4 = 3/2
3、用換元法解方程組：
根據題目的特點，利用換元法簡化求解，同時應注意換元法求出的解要代回關系式中，求出方程組中未知數的解。
例：ⅰ、解方程組： 5/(x+1) + 4/(y-2) = 2
7/(x+1)– 3/(y-2) = 13/20
2a-3b = 13 a = 8.3
2(x+2)-3(y-1) = 13 ⅱ、已知方程組 的解是 ，則方程組
3a+5b = 30.9 b = 1.2
3(x+2)+5(y-1) = 30.9
的解是：( )
x = 8.3 x = 10.3 x = 6.3 x = 10.3
y = 1.2 y = 2.2 y = 2.2 A、 B、 C、 D、 y = 0.2 4、用整體代入法解方程組：
例：解方程組： 2x - y = 6 ①
(x+2y)(4x–2y)= 192 ②
解：將②變形為：(x+2y)×2(2x–y)= 192 ③ ，把①代入③得：(x+2y)×2×6 = 192 ,即 x+2y = 16 ④
2x - y = 6 解得： x = 5.6 再把①和④組成新的方程組： x + 2y = 16 y = 5.2
5、另外幾種類型的例題：
(1)、若︱m + n – 5︱ + (2m + 3n - 5)²= 0 ,求(m - n)²的值。
(2)、已知代數式x²+ ax + b，當x = -1時，它的值是5，當x =1時，它的值是-1，求當x =2時，代數式的值。
5x + y = 3 x - 2y = 5 有相同的解，求m，n的值。 (3)、已知方程組 與
mx + 5y = 4 5x + ny = 1
3x - 5y = 2m (4)、已知方程組 的解x、y互為相反數，求m、x以及y的值。 2x + 7y = m-18
2x - y = k (5)、關于x、y的方程組 的解，也是方程2x + y = 3的解，求k的值。 3x + y = k+1
(6)、某蔬菜公司收購到某種蔬菜140噸，準備加工后上市銷售。該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸。現計劃用15天完成加工任務，該公司應安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務?如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后的利潤為2000元，那么照此安排，該公司出售這些加工后的蔬菜共獲利多少元? 三、實際問題與二元一次方程組
1、利用二元一次方程組解實際應用問題的一般過程為：審題并找出數量關系式 —> 設元(設未知數) —> 根據數量關系式列出方程組 —> 解方程組 —> 檢驗并作答(注意：此步驟不要忘記) 2、列方程組解應用題的常見題型：
(1)、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關系式是：較大量 - 較小量 = 相差量 ，總量 = 倍數 × 倍量;
(2)、產品配套問題：解這類題的基本等量關系式是：加工總量成比例;
(3)、速度問題：解這類問題的基本關系式是：路程 = 速度 × 時間，包括相遇問題、追及問題等; (4)、航速問題：①、順流(風)：航速 = 靜水(無風)時的速度 + 水(風)速; ②、逆流(風)：航速 = 靜水(無風)時的速度 – 水(風)速;
(5)、工程問題：解這類問題的基本關系式是：工作總量 = 工作效率×工作時間，(有時需把工作總量看作1);
(6)、增長率問題：解這類問題的基本關系式是：原量×(1+增長率)= 增長后的量，原量×(1-減少率)= 減少后的量;
(7)、盈虧問題：解這類問題的關鍵是從盈(過剩)、虧(不足)兩個角度來把握事物的總量; (8)、數字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示; (9)、幾何問題：解這類問題的基本關系是有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式; (10)、年齡問題：解這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數相等。
例1：一批水果運往某地，第一批360噸，需用6節火車車廂加上15輛汽車，第二批440噸，需用8節火車車廂加上10輛汽車，求每節火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸?
例2：甲、乙兩物體分別在周長為400米的環形軌道上運動，已知它們同時從一處背向出發，25秒后相遇，若甲物體先從該處出發，半分鐘后乙物體再從該處同向出發追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲，假設甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。
例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運動，甲的速度比乙大，當二人反向運動時，每150秒相遇一次，當二人同向運動時，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。
例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 ：7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 ：1，今要得到酒精與水的比是3 ：2的酒精溶液50kg，求甲、乙兩種溶液各取多少kg?
例5：一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50個，或制作桌腿300條，現有5立方米木料，請問，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套?此時，可以制成多少張方桌?
例6：某人要在規定的時間內由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘，如果他以每小時75千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達乙地，求甲、乙兩地間的距離。
例7：某農場有300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農作物，已知種植各種農作物每公頃所需勞動力人數
及投入資金如右表：
已知該農場計劃投入資金
67萬元，應該怎樣安排這三
種農作物的種植面積才能使
所有職工都有工作而且投入資金正好夠用?
例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個50人的旅游團到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間?
例9：某山區有23名中、
資助一名中學生的學習費用需要a元，資助一名小學生
的學習費用需要b元。某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學生和小學生人數的部分情況如右表： (1)、求a、b的值;
(2)初三年級的捐款解決了其余貧困中小學生的學習費用，請分別計算出初三年級的捐款所資助的中學生和小學生人數。
四、三元一次方程組的解法
1、概念：由三個方程組成方程組，且方程組中共含有三個未知數，每個方程中含有的未知數的次數都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。
注：三元一次方程組中的三個方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個未知數”的條件即可。
2、解三元一次方程組的基本思想：
三元一次方程組
消元
————————> (代入法、加減法)
二元一次方程組
消元
————————> (代入法、加減法)
一元一次方程
3x + 4y + z = 14 3x + 4z = 7
例1：解方程組 x + 5y + 2z = 17 2x + 3y + z = 9
2x + 2y - z = 3 5x– 9y + 7z = 8
例2：在y = ax²+bx+c中，當x=1時，y=0;x=2時，y=3;x=3時,y=28，求a、b、c的值。當x = -1時，y的值是多少?
例3：甲、乙、丙三數之和是26，甲數比乙數大1，甲數的兩倍與丙數的和比乙數大18，求這三個數。 例4：小明從家到學校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小時行3千米，平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米，那么小明從家到學校需要1小時，從學校回家只需要44分鐘。求小明家到學校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米?
第二章 整式的乘法
1.同底數冪的乘法：a·a=a ，底數不變，指數相加.
2.冪的乘方與積的乘方：(a)=a ，底數不變，指數相乘; (ab)=ab ，積的乘方等于各因式乘方的積. 3.單項式的乘法：系數相乘，相同字母相乘，只在一個因式中含有的字母，連同指數寫在積里. 4.單項式與多項式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加. 5.多項式的乘法：(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加. 6.乘法公式：
(1)平方差公式：(a+b)(a-b)= a-b，兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差; (2)完全平方公式：
① (a+b)=a+2ab+b, 兩個數和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍; ② (a-b)=a-2ab+b , 兩個數差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍; ※ ③ (a+b-c)=a+b+c+2ab-2ac-2bc，略. 7.配方：
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