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高一必修數學期末常考知識點整理

時間：2021-02-03 14:41:07 高中數學

高一必修數學期末常考知識點整理

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高一必修數學期末常考知識點整理

　　課時一：集合有關概念

　　1. 集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，

　　并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

　　2. 一般的研究對象統稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。 3. 集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。例：世界上最高的山、

　　中國古代四大美女、教室里面所有的人……

　　(2)元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。

　　例：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合

　　例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

　　3.集合的表示：{…} 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用大寫字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　1)列舉法：將集合中的元素一一列舉出來 {a,b,c……}

　　2)描述法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。

　　{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

　　①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　②Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集：含有有限個元素的集合 (2)無限集：含有無限個元素的集合

　　(3)空集：不含任何元素的集合例：{x|x=-5｝ 5、元素與集合的關系：

　　(1)元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA

　　(2)元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a A  注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集(即自然數集) 記作：N 正整數集 N*或 N+ 整數集Z 有理數集Q 實數集R

　　課時二、集合間的基本關系

　　1.‚包含‛關系—子集

　　(1)定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集

　　合B的子集。記作：AB(或BA)

　　注意：AB有兩種可能(1)A是B的一部分，;

　　(2)A與B是同一集合。

　　B或BA 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A

　　2.‚相等‛關系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5)

　　實例：設 A={x|x-1=0} B={-1,1} ‚元素相同則兩集合相等‛ 即：① 任何一個集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且A B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA) 或若集合AB，存在xB且x A，則稱集合A是集合B的真子集。 ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同時 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

　　規定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　nn-1

　　 有n個元素的集合，含有2個子集，2個真子集

　　課時三、集合的運算

　　課時四：函數的有關概念

　　1. 函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，

　　在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作：

　　y=f(x)，x∈A.(1)其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;

　　(2)與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域. 函數的三要素：定義域、值域、對應法則 3、區間的概念：

　　(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間 (2)無窮區間

　　(3)區間的數軸表示

　　4函數的表示方法：(1)解析法：明確函數的定義域

　　(2)圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。 (3)列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。 5、函數圖象知識歸納

　　(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)

　　的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .

　　(2) 畫法

　　A、描點法： B、圖象變換法：平移變換;伸縮變換;對稱變換。 (3)函數圖像變換的特點：

　　1)函數y=f(x) 關于X軸對稱y=-f(x) 2)函數y=f(x) 關于Y軸對稱y=f(-x) 3)函數y=f(x) 關于原點對稱y=-f(-x) 2.映射

　　一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在

　　集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作‚f(對應關系)：A(原象)B(象)‛

　　對于映射f：A→B來說，則應滿足：

　　(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個; (3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

　　課時五：函數的解析表達式，及函數定義域的求法

　　1、函數解析式子的.求法

　　(1)、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應

　　法則，二是要求出函數的定義域.

　　(2)、求函數的解析式的主要方法有：

　　1)代入法： 2)待定系數法： 3)換元法： 4)拼湊法：

　　2.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。

　　求函數的定義域時列不等式組的主要依據是： (1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被開方數不小于零; (3)對數式的真數必須大于零;

　　(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

　　(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

　　(6)指數為零底不可以等于零，

　　(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

　　3、相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);②定義域一致 (兩點必須同時具

　　備)

　　課時六：

　　1.值域 : 先考慮其定義域

　　(1)觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域;

　　(2)配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，注意定義域的范圍。 (3)代換法(換元法)：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。 (4)分離常數法

　　課時七

　　1.分段函數

　　(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。 (2)各部分的自變量的取值情況.

　　(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. 補充：復合函數

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數。

　　(4)常用的分段函數 1)取整函數： 2)符號函數：

　　3)含絕對值的函數：

　　注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射，而映射不一定的函數

　　課時八函數的單調性(局部性質)及最值

　　1、增減函數

　　(1)設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1

　　時，都有f(x1)

　　(2)如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1

　　個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

　　注意：函數的單調性是函數的局部性質;函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種 2、圖象的特點

　　如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的. 3、函數單調區間與單調性的判定方法 (A) 定義法：

　　1 任取x，x∈D，且x

　　2 作差f(x)-f(x); ○

　　3 變形(通常是因式分解和配方); ○

　　4 定號(即判斷差f(x)-f(x)的正負); ○

　　5 下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性). ○

　　(B)圖象法(從圖象上看升降) (C)復合函數的單調性

　　復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：‚同增異減‛ 注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 課時九：函數的奇偶性(整體性質)

　　(1)、偶函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數. (2)、奇函數

　　一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數. (3)、具有奇偶性的函數的圖象的特征

　　偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱. 利用定義判斷函數奇偶性的步驟：

　　1首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱;若是不對稱，則是非奇非偶的函數;若對稱，則○

　　進行下面判斷;

　　2確定f(-x)與f(x)的關系; ○

　　3作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數; ○

　　若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.

　　(4)利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性

　　1)在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數; 奇函數的加減仍為奇函數;

　　奇數個奇函數的乘除認為奇函數; 偶數個奇函數的乘除為偶函數; 一奇一偶的乘積是奇函數;

　　2)復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。

　　注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，

　　(1)再根據定義判定;

　　(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 . 課時十、函數最值及性質的應用 1、函數的最值

　　1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值 ○

　　2 利用圖象求函數的最大(小)值 ○

　　3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值： ○

　　如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b); 如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b); 2、函數的奇偶性與單調性

　　奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性; 偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性。

　　3、判斷含糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。 4、絕對值函數求最值，先分段，再通過各段的單調性，或圖像求最值。

　　5、在判斷函數的奇偶性時候，若已知是奇函數可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數為奇函數。(高一階段可以利用奇函數f(0)=0)。

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