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    經典的初中奧數考點:數的整除

    時間:2021-01-14 13:38:18 奧數題

    經典的初中奧數考點:數的整除

      導語:初中奧數的考點有很多數的整除就是其中一個,那么數的整除中經典的知識點有哪些呢,今天小編為大家總結了經典的初中奧數總結,希望對大家有所幫助,希望對大家有所幫助!歡迎閱讀,僅供參考,更多相關的.知識,請關注CNFLA學習網的欄目!

      初中奧數的考試題:

      整數的整除性問題,是數論中的最基本問題,也是國內外數學競賽中最常出現的內容之一.由于整

      數性質的論證是具體、嚴格、富有技巧,它既容易使學生接受,又是培養學生邏輯思維和推理能力的一個有效課題,因此,了解一些整數的性質和整除性問題的解法是很有必要的.

      1.整除的基本概念與性質

      所謂整除,就是一個整數被另一個整數除盡,其數學定義如下.

      定義 設a,b是整數,b≠0.如果有一個整數q,使得a=bq,那么稱a能被b整除,或稱b整除a,并記作b|a.如果不存在這樣的整數q,使得a=bq,則稱a不能被b整除,或稱b不整除a,記作ba. 關于整數的整除,有如下一些基本性質:

      性質1 若b|a,c|b,則c|a.

      性質2 若c|a,c|b,則c|(a±b).

      性質3 若c|a,cb,則c(a±b).

      性質4 若b|a,d|c,則bd|ac.

      性質5 若a=b+c,且m|a,m|b,則m|c.

      性質6 若b|a,c|a,則[b,c]|a(此處[b,c]為b,c的最小公倍數).特別地,當(b,c)=1時,bc|a(此處(b,c)為b,c的最大公約數).

      性質7 若c|ab,且(c,a)=1,則c|b.特別地,若p是質數,且p|ab,則p|a或p|b.

      性質8 若a≠b,n是自然數,則(a-b)|(an-bn).

      性質9 若a≠-b,n是正偶數,則(a+b)|(an-bn).

      性質10 若a≠-b,n是正奇數,則(a+b)|(an+bn).

      2.證明整除的基本方法

      證明整除常用下列幾種方法:(1)利用基本性質法;(2)分解因式法;(3)按模分類法;(4)反證法.下面舉例說明.

      例1 證明:三個連續奇數的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.

      例2 若x,y為整數,且2x+3y,9x+5y之一能被17整除,那么另一個也能被17整除.

      q>1.求pq的值.

      例4 試求出兩兩互質的不同的三個自然數x,y,z,使得其中任意兩個的和能被第三個數整除.

      例5 設n是奇數,求證:

      60|6n-3n-2n-1.

      例6 若整數a不被2和3整除,求證:24|(a2-1).

      例7 求證:3n+1(n為正整數)能被2或22整除,但不能被2的更高次冪整除.

      例8 已知a,b是整數,a2+b2能被3整除,求證:a和b都能被3整除.

      例9 設p是質數,證明:滿足a2=pb2的正整數a,b不存在.

      例10 設p,q均為自然數,且

      求證:29|p.

      練習題

      1.求證:對任意自然數n,2×7n+1能被3整除.

      2.證明:當a是奇數時,a(a2-1)能被24整除.

      3.已知整數x,y,使得7|(13x+8y),求證:

      7|(9x+5y).

      4.設p是大于3的質數,求證:24|(p2-1).

      5.求證:對任意自然數n,n(n-1)(2n-1)能被6整除.

      6.求證:三個連續自然數的立方和能被9整除.

      7.已知a,b,c,d為整數,ab+cd能被a-c整除,求證:ad+bc也能被a-c整除.

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