實際問題與二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計
第1課時 二次函數(shù)與圖形面積
出示目標(biāo)
能從實際問題中分析、找出變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出實際問題的答案.
預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)
閱讀教材第49至50頁,自學(xué)“ 探究1”，能根據(jù)幾何圖形及相互關(guān)系建立二次函數(shù)關(guān)系式，體會二次函數(shù)這一模型的意義.
自學(xué)反饋 學(xué)生獨立完成后集體訂正
①如圖，點C是線段AB上的一點，AB=1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，下列判斷正確的是(A)
A.當(dāng)C是AB的中點時，S最小
B.當(dāng)C是AB的中點時，S最大
C.當(dāng)C為AB的三等分點時，S最小
D.當(dāng)C是AB的三等分點時，S最大
②用長8 的鋁合金制成如圖所示的矩形窗框，使窗戶的透光面積最大，那么這個窗戶的最大透光面積是 2.
第②題圖 第③題圖
③如圖所示，某村修一條水渠，橫斷面是等腰梯形，底角為120°，兩腰與下底的和為4 c，當(dāng)水渠深x為 時，橫斷面面積最大，最大面積是 .
先列出函數(shù)的解析式，再根據(jù) 其增減性確定最值.
合作探究1
活動1 小 組討論
例1 某建筑的窗戶如圖所示 ，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的.材料長為15 (圖中所有線條長度之和)，當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多(結(jié)果精確到0.01 )？此時，窗戶的面積是多少？
解:由題意可知4+ ×2πx+7x=15.化簡得= .
設(shè)窗 戶的面積為S 2，則S= πx2+2x× =-3. 5x2+7.5x.
∵a=-3.5<0，∴S有最大值.∴當(dāng)x=- = ≈1.07 ()時，
S最大= ≈4.02(2).即當(dāng)x≈1.07 時，窗 戶通過的光線最多.
此時，窗戶的面積是4.02 2.
此題較復(fù)雜，特別要注意:中間線段用x的代數(shù)式來表示時，要充分利用幾何關(guān)系；要注意頂點的橫坐標(biāo)是否在自變量x的取值范圍內(nèi).
活動2 跟蹤訓(xùn)練(小組討論解題思路共同完成并展示)
如圖，要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米 ，在兩腰中點連線(虛線)處有一條橫向甬道，兩腰之間有兩條豎直甬道，且它們的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米.
①用含x的式子表示橫向甬道的面積；
②當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；
③根據(jù)設(shè)計的要 求，甬道的寬不能超過6米，如果修建甬道的總費用(萬元)與甬道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7，花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？
解：①150x 2；②5 ；③當(dāng)甬道寬度為6 時，所建花壇總費用最少，為238.44萬元.
想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個小梯形.
合作探究2
活動1 小組討論
例2 如圖，從一張矩形紙較短的邊上找一點E，過E點剪下兩個正方形，它們的 邊長分別是AE、DE，要使剪下的兩個正方形的面積和最小，點E應(yīng)選在何處？為什么？
解:設(shè)矩形紙較短邊長為a，設(shè)DE=x，則AE=a-x.
那么兩個正方形的面積和為=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.當(dāng)x= a時，
最小=2×( a)2-2a× a+a2= a2. 即點E選在矩形紙較短邊的中點時，剪下的兩個正方形的面積和最小.
此題關(guān)鍵是充分利用幾何關(guān)系建立二次函數(shù)模型，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解.
活動2 跟蹤訓(xùn)練(獨立完成后展示學(xué)習(xí)成果)
如圖，有一塊空地，空地外有一面長10 的圍墻，為了美化生活環(huán)境，準(zhǔn)備靠墻修建一個矩形花圃， 用32 長的不銹鋼作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為1 的通道及在左右花圃各放一個1 寬的門，花圃的寬AD究竟應(yīng)為多少米才能使花圃的面積最大？
解：當(dāng)x=6.25 時，面積最大為56.25 2 .
此題要結(jié)合函數(shù)圖象求解，頂點不在取值范圍內(nèi).
活動3 課堂小結(jié)
學(xué)生試述:這節(jié)課你學(xué)到了些什么？
當(dāng)堂訓(xùn)練
教學(xué)至此，敬請使用學(xué)案當(dāng)堂訓(xùn)練部分.
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