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高中正余弦定理教學設計

時間：2021-02-10 14:41:26 教學設計

高中正余弦定理教學設計

　　高中正余弦定理是高中幾何數學的基礎，學好這部分內容，有助于提升學生對幾何數學的辨析能力和理解能力，下面是高中正余弦定理教學設計，我們一起來看看吧！

高中正余弦定理教學設計

　　一. 教學目標：

　　1知識與技能：認識正弦、余弦定理，了解三角形中的邊與角的關系

　　2過程與方法：通過具體的探究活動，了解正弦、余弦定理的內容，并從具體的實例掌握正弦、余弦定理的應用

　　情感態度與價值觀：通過對實例的探究，體會到三角形的和諧美，學會穩定性的重要

　　二. 教學重、難點：

　　1. 重點：

　　正弦、余弦定理應用以及公式的變形 2. 難點：

　　運用正、余弦定理解決有關斜三角形問題。

　　知識梳理

　　1．正弦定理和余弦定理

　　在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則

　　(1)S＝2ah(h表示邊a上的.高)． 111

　　(2)S＝2bcsin A＝2sin C＝2acsin B. 1

　　(3)S＝2r(a＋b＋c)(r為△ABC內切圓半徑)

　　問題1：在△ABC中，a＝3，b2，A＝60°求c及B C 問題2在△ABC中,c=6 A=30° B=120°求a b及C

　　問題3在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝16，則b＝

　　通過對上述三個較簡單問題的解答指導學生總結正余弦定理的應用; 正弦定理可以解決

　　(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；

　　(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角

　　余弦定理可以解決

　　(1)已知三邊，求三個角；

　　(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角

　　我們不難發現利用正余弦定理可以解決三角形中“知三求三” 知三中必須要有一邊應用舉例【例1】 (1)(2013·湖南卷)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b.若2asin B3b，則角A等于 ( )．ππππA.3B.4 C.6 12

　　(2)(2014·杭州模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，c＝2，B＝45°，則sin C＝______.

　　解析 (1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B， ∵B為△ABC的內角，∴sin B≠0. 3

　　∴sin A＝2又∵△ABC為銳角三角形， π?π?

　　∴A∈?02?，∴A＝3??

　　(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝1＋32－2×2＝25，即b＝5. c·sin B

　　所以sin Cb4

　　答案 (1)A (2)5【訓練1】 (1)在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，則C＝

　　A．30°B．45° C．45°或135°

　　D．60°

　　(2)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝3sin B，則A＝ A．30°

　　B．60° C．120°

　　D．150°

　　232解析 (1)由正弦定理，得sin 60°sin C，解得：sin C＝2，又c＜a，所以C＜60°，所以C＝45°. (2)∵sin C＝23sin B，由正弦定理，得c＝23b， b2＋c2－a2－3bc＋c2－3bc＋3bc3∴cos A＝2bc＝＝2bc2bc2，又A為三角形的內角，∴A＝30°. 答案 (1)B (2)A

　　規律方法已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．

　　【例2】 (2014·臨沂一模)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C. (1)求角A的大小；

　　(2)若sin B＋sin C＝3，試判斷△ABC的形狀．解 (1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21

　　∴cos A＝2bc＝2，∴A＝60°.

　　(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3，得sin B＋sin(120°－B)＝3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33

　　∴2sin B＋2B＝3，即sin(B＋30°)＝1. ∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.

　　∴B＋30°＝90°，B＝60°.

　　∴A＝B＝C＝60°，△ABC為等邊三角形．

　　規律方法解決判斷三角形的形狀問題，一般將條件化為只含角的三角函數的關系式，然后利用三角恒等變換得出內角之間的關系式；或將條件化為只含有邊的關系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系．另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對三角函數值的影響．

　　課堂小結

　　1．在解三角形的問題中，三角形內角和定理起著重要作用，在解題時要注意根據這個定理確定角的范圍及三角函數值的符號，防止出現增解或漏解．

　　2．正、余弦定理在應用時，應注意靈活性，尤其是其變形應用時可相互轉化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以轉化為sin2 A＝sin2 B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用這些變形可進行等式的化簡與證明

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