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    初中數學二次函數的教案

    時間:2024-07-08 22:20:05 登綺 數學教案

    初中數學二次函數的教案(精選10篇)

      作為一名默默奉獻的教育工作者,就有可能用到教案,教案是教材及大綱與課堂教學的紐帶和橋梁。那么什么樣的教案才是好的呢?下面是小編收集整理的初中數學二次函數的教案,僅供參考,大家一起來看看吧。

    初中數學二次函數的教案(精選10篇)

      初中數學二次函數的教案 1

      教學目標:

      (1)能夠根據實際問題,熟練地列出二次函數關系式,并求出函數的自變量的取值范圍。

      (2)注重學生參與,聯系實際,豐富學生的感性認識,培養學生的良好的學習習慣

      重點難點:

      能夠根據實際問題,熟練地列出二次函數關系式,并求出函數的自變量的取值范圍。

      教學過程:

      一、試一試

      1.設矩形花圃的垂直于墻的一邊AB的長為xm,先取x的一些值,算出矩形的另一邊BC的長,進而得出矩形的面積ym

      2.試將計算結果填寫在下表的空格中,AB長x(m)123456789

      BC長(m)12

      面積y(m2)482.x的值是否可以任意取?有限定范圍嗎?

      3.我們發現,當AB的長(x)確定后,矩形的面積(y)也隨之確定,y是x的函數,試寫出這個函數的關系式,對于1,可讓學生根據表中給出的AB的長,填出相應的BC的長和面積,然后引導學生觀察表格中數據的變化情況,提出問題:

      (1)從所填表格中,你能發現什么?

      (2)對前面提出的問題的解答能作出什么猜想?讓學生思考、交流、發表意見,達成共識:當AB的長為5cm,BC的長為10m時,圍成的矩形面積最大;最大面積為50m2。

      對于2,可讓學生分組討論、交流,然后各組派代表發表意見。形成共識,x的值不可以任意取,有限定范圍,其范圍是0

      對于3,教師可提出問題

      (1)當AB=xm時,BC長等于多少m?

      (2)面積y等于多少?并指出y=x(20-2x)

      二、提出問題

      某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售,一天可銷出約100件。該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤,經過市場調查,發現這種商品單價每降低0.1元,其銷售量可增加10件。將這種商品的'售價降低多少時,能使銷售利潤最大?

      在這個問題中,可提出如下問題供學生思考并回答:

      1.商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關系?

      [利潤=(售價-進價)銷售量]

      2.如果不降低售價,該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元?

      [10-8=2(元),(10-8)100=200(元)]

      3.若每件商品降價x元,則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件商品?

      [(10-8-x);(100+100x)]

      4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取,請求出它的范圍,[x的值不能任意取,其范圍是02]

      5.若設該商品每天的利潤為y元,求y與x的函數關系式。

      [y=(10-8-x)(100+100x)(02)]

      將函數關系式y=x(20-2x)(0

      y=-2x2+20x(0

      將函數關系式y=(10-8-x)(100+100x)(02)化為:

      y=-100x2+100x+20D(02)(2)

      三、觀察;概括

      1.教師引導學生觀察函數關系式(1)和(2),提出以下問題讓學生思考回答;

      (1)函數關系式(1)和(2)的自變量各有幾個?

      (各有1個)

      (2)多項式-2x2+20和-100x2+100x+200分別是幾次多項式?

      (分別是二次多項式)

      (3)函數關系式(1)和(2)有什么共同特點?

      (都是用自變量的二次多項式來表示的)

      (4)本章導圖中的問題以及P1頁的問題2有什么共同特點?

      讓學生討論、交流,發表意見,歸結為:自變量x為何值時,函數y取得最大值。

      2.二次函數定義:形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常數,a0)的函數叫做x的二次函數,a叫做二次函數的系數,b叫做一次項的系數,c叫作常數項.

      四、課堂練習

      1.(口答)下列函數中,哪些是二次函數?

      (1)y=5x+1

      (2)y=4x2-1

      (3)y=2x3-3x2

      (4)y=5x4-3x+1

      2.P3練習第1,2題。

      五、小結

      1.請敘述二次函數的定義

      2.許多實際問題可以轉化為二次函數來解決,請你聯系生活實際,編一道二次函數應用題,并寫出函數關系式。

      六、作業:略

      初中數學二次函數的教案 2

      教學目標:

      利用數形結合的數學思想分析問題解決問題。

      利用已有二次函數的知識經驗,自主進行探究和合作學習,解決情境中的數學問題,初步形成數學建模能力,解決一些簡單的實際問題。

      在探索中體驗數學來源于生活并運用于生活,感悟二次函數中數形結合的美,激發學生學習數學的興趣,通過合作學習獲得成功,樹立自信心。

      教學重點和難點:

      運用數形結合的思想方法進行解二次函數,這是重點也是難點。

      教學過程:

      (一)引入:

      分組復習舊知。

      探索:從二次函數y=x2+4x+3在直角坐標系中的圖象中,你能得到哪些信息?

      可引導學生從幾個方面進行討論:

      (1)如何畫圖

      (2)頂點、圖象與坐標軸的交點

      (3)所形成的三角形以及四邊形的面積

      (4)對稱軸

      從上面的問題導入今天的課題二次函數中的圖象與性質。

      (二)新授:

      1、再探索:二次函數y=x2+4x+3圖象上找一點,使形成的圖形面積與已知圖形面積有數量關系。例如:拋物線y=x2+4x+3的頂點為點A,且與x軸交于點B、C;在拋物線上求一點E使SBCE=SABC。

      再探索:在拋物線y=x2+4x+3上找一點F,使BCE與BCD全等。

      再探索:在拋物線y=x2+4x+3上找一點M,使BOM與ABC相似。

      2、讓同學討論:從已知條件如何求二次函數的解析式。

      例如:已知一拋物線的頂點坐標是C(2,1)且與x軸交于點A、點B,已知SABC=3,求拋物線的解析式。

      (三)提高練習

      根據我們學校人人皆知的船模特色項目設計了這樣一個情境:

      讓班級中的上科院小院士來簡要介紹學校船模組的情況以及在繪制船模圖紙時也常用到拋物線的知識的情況,再出題:船身的龍骨是近似拋物線型,船身的最大長度為48cm,且高度為12cm。求此船龍骨的拋物線的解析式。

      讓學生在練習中體會二次函數的圖象與性質在解題中的作用。

      (四)讓學生討論小結

      (略)

      (五)作業布置

      1、在直角坐標平面內,點O為坐標原點,二次函數y=x2+(k—5)x—(k+4)的'圖象交x軸于點A(x1,0)、B(x2,0)且(x1+1)(x2+1)=—8。

      (1)求二次函數的解析式;

      (2)將上述二次函數圖象沿x軸向右平移2個單位,設平移后的圖象與y軸的交點為C,頂點為P,求POC的面積。

      2、如圖,一個二次函數的圖象與直線y=x—1的交點A、B分別在x、y軸上,點C在二次函數圖象上,且CBAB,CB=AB,求這個二次函數的解析式。

      3、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分,在大橋截面1:11000的比例圖上,跨度AB=5cm,拱高OC=0。9cm,線段DE表示大橋拱內橋長,DE∥AB,如圖1,在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數軸的單位長度,建立平面直角坐標系,如圖2。

      (1)求出圖2上以這一部分拋物線為圖象的函數解析式,寫出函數定義域;

      (2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內實際橋長

      初中數學二次函數的教案 3

      教學目標:

      會用待定系數法求二次函數的解析式,能結合二次函數的圖象掌握二次函數的性質,能較熟練地利用函數的性質解決函數與圓、三角形、四邊形以及方程等知識相結合的綜合題。

      重點難點:

      重點;用待定系數法求函數的解析式、運用配方法確定二次函數的特征。

      難點:會運用二次函數知識解決有關綜合問題。

      教學過程:

      用待定系數法確定二次函數解析式

      例:根據下列條件,求出二次函數的解析式。

      (1)拋物線y=ax2+bx+c經過點(0,1),(1,3),(-1,1)三點。

      (2)拋物線頂點P(-1,-8),且過點A(0,-6)。

      (3)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象過(3,0),(2,-3)兩點,并且以x=1為對稱軸。

      (4)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過一次函數y=-3/2x+3的'圖象與x軸、y軸的交點;且過(1,1),求這個二次函數解析式,并把它化為y=a(x-h)2+k的形式。

      學生活動:學生小組討論,題目中的四個小題應選擇什么樣的函數解析式?并讓學生闡述解題方法。

      教師歸納:二次函數解析式常用的有三種形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)

      (2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a≠0)(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

      當已知拋物線上任意三點時,通常設為一般式y=ax2+bx+c形式。

      當已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時,通常設為頂點式y=a(x-h)2+k形式。

      當已知拋物線與x軸的交點或交點橫坐標時,通常設為兩根式y=a(x-x1)(x-x2)

      強化練習:已知二次函數的圖象過點A(1,0)和B(2,1),且與y軸交點縱坐標為m。

      (1)若m為定值,求此二次函數的解析式;

      (2)若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點,求m的取值范圍。

      初中數學二次函數的教案 4

      一、教材分析

      本節課在討論了二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像的基礎上對二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像和性質進行研究。主要的研究方法是通過配方將y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)轉化,體會知識之間在內的聯系。在具體探究過程中,從特殊的例子出發,分別研究a>0和a<0的情況,再從特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像和性質。

      二、學情分析

      本節課前,學生已經探究過二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像和性質,面對一般式向頂點式的轉化,讓學上體會化歸思想,分析這兩個式子的區別。

      三、教學目標

      (一)知識與能力目標

      1.經歷求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標的過程;

      2.能通過配方把二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,從而確定開口方向、頂點坐標和對稱軸。

      (二)過程與方法目標

      通過思考、探究、化歸、嘗試等過程,讓學生從中體會探索新知的方式和方法。

      (三)情感態度與價值觀目標

      1.經歷求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標的過程,滲透配方和化歸的思想方法;

      2.在運用二次函數的知識解決問題的過程中,親自體會到學習數學知識的價值,從而提高學生學習數學知識的興趣并獲得成功的體驗。

      四、教學重難點

      1.重點

      通過配方求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的.對稱軸和頂點坐標。

      2.難點

      二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像的性質。

      五、教學策略與設計說明

      本節課主要滲透類比、化歸數學思想。對比一般式和頂點式的區別和聯系;體會式子的恒等變形的重要意義。

      六、教學過程

      教學環節(注明每個環節預設的時間)

      (一)提出問題(約1分鐘)

      教師活動:形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的拋物線的對稱軸、頂點坐標分別是什么?那么對于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)頂點坐標和對稱軸又怎樣呢?圖像又如何?

      學生活動:學生快速回答出第一個問題,第二個問題引起學生的思考。

      目的:由舊有的知識引出新內容,體現復習與求新的關系,暗示了探究新知的方法。

      (二)探究新知

      1.探索二次函數y=0.5x2-6x+21的函數圖像(約2分鐘)

      教師活動:教師提出思考問題。這里教師適當引導能否將次一般式化成頂點式?然后結合頂點式確定其頂點和對稱軸。

      學生活動:討論解決

      目的:激發興趣

      2.配方求解頂點坐標和對稱軸(約5分鐘)

      教師活動:教師板書配方過程:y=0.5x2-6x+21=0.5(x2-12x+42)

      =0.5(x2-12x+36-36+42)

      =0.5(x-6)2+3

      教師還應強調這里的配方法比一元二次方程的配方稍復雜,注意其區別與聯系。

      學生活動:學生關注黑板上的講解內容,注意自己容易出錯的地方。

      目的:即加深對本課知識的認知有增強了配方法的應用意識。

      3.畫出該二次函數圖像(約5分鐘)

      教師活動:提出問題。這里要引導學生是否可以通過y=0.5x2的圖像的平移來說明該函數圖像。關注學生在連線時是否用平滑的曲線,對稱性如何。

      學生活動:學生通過列表、描點、連線結合二次函數圖像的對稱性完成作圖。

      目的:強化二次函數圖像的畫法。即確定開口方向、頂點坐標、對稱軸結合圖像的對稱性完成圖像。

      4.探究y=-2x2-4x+1的函數圖像特點(約3分鐘)

      教師活動:教師提出問題。找學生板演拋物線的開口方向、頂點和對稱軸內容,教師巡視,學生互相查找問題。這里教師要關注學生是否真正掌握了配方法的步驟及含義。

      學生活動:學生獨立完成。

      目的:研究a<0時一個具體函數的圖像和性質,體會研究二次函數圖像的一般方法。

      5.結合該二次函數圖像小結y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(約14分鐘)

      教師活動:教師將y=ax2+bx+c(a≠0)通過配方化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。確定函數頂點、對稱軸和開口方向并著重討論分析a>0和a<0時,y隨x的變化情況、拋物線與y的交點以及函數的最值如何。

      學生活動:仔細理解記憶一般式中的頂點坐標、對稱軸和開口方向;理解y隨x的變化情況。

      目的:體會由特殊到一般的過程。體驗、觀察、分析二次函數圖像和性質。

      6.簡單應用(約11分鐘)

      教師活動:教師板書:已知拋物線y=0.5x2-2x+1.5,求這條拋物線的開口方向、頂點坐標、對稱軸圖像和y軸的交點坐標并確定y隨x的變化情況和最值。

      教師巡視,個別指導。教師在這里可以用兩種方法解決該問題:i)用配方法如例題所示;ii)我們可以先求出對稱軸,然后將對稱軸代入到原函數解析式求其函數值,此時對稱軸數值和所求出的函數值即為頂點的橫、縱坐標。

      學生活動:學生先獨立完成,約3分鐘后討論交流,最后形成結論。

      目的:鞏固新知

      課堂小結(2分鐘)

      1.本節課研究的內容是什么?研究的過程中你遇到了哪些知識上的問題?

      2.你對本節課有什么感想或疑惑?

      布置作業(1分鐘)

      1.教科書習題22.1第6,7兩題;

      2.《課時練》本節內容。

      教學反思

      在教學中我采用了合作、體驗、探究的教學方式。在我引導下,學生通過觀察、歸納出二次函數y=ax2+bx+c的圖像性質,體驗知識的形成過程,力求體現“主體參與、自主探索、合作交流、指導引探”的教學理念。整個教學過程主要分為三部分:第一部分是知識回顧;第二部分是學習探究;第三部分是課堂練習。從當堂的反饋和第二天的作業情況來看,絕大多數同學能掌握本節課的知識,達到了學習目標中的要求。

      我認為優點主要包括:

      1.教態自然,能注重身體語言的作用,聲音洪亮,提問具有啟發性。

      2.教學目標明確、思路清晰,注重學生的自我學習培養和小組合作學習的落實。

      3.板書字體端正,格式清晰明了,突出重點、難點。

      4.我覺的精彩之處是求一般式的頂點坐標時的第二種方法,給學生減輕了一些負擔,不一定非得配方或運用公式求頂點坐標。

      所以我對于本節課基本上是滿意的。但也有很多需要改進的地方主要表現在:

      1.知識的生成過程體現的不夠具體,有些急于求成。在學生活動中自己引導的較少,時間較短,討論的不夠積極;

      2.一般式圖像的性質自己總結的較多,學生發言較少,有些知識完全可以有學生提出并生成,這樣的結論學生理解起來會更深刻;

      3.學生在回答問題的過程中我老是打斷學生。提問一個問題,學生說了一半,我就迫不及待地引導他說出下一半,有的時候是我替學生說了,這樣學生的思路就被我打斷了。破壞學生的思路是我們教師最大的毛病,此頑疾不除,教學質量難以保證。

      4.合作學習的有效性不夠。正所謂:“水本無波,相蕩乃成漣漪;石本無火,相擊而生靈光。”只有真正把自主、探究、合作的學習方式落到實處,才能培養學生成為既有創新能力,又能適應現代社會發展的公民。

      重新去解讀這節課的話我會注意以上一些問題,再多一些時間給學生,讓他們去體驗,探究而后形成自己的知識。

      初中數學二次函數的教案 5

      一.教材分析

      1、教材的地位及作用

      函數是一種重要的數學思想,是實際生活中數學建模的重要工具,二次函數的教學在初中數學教學中有著重要的地位。本節內容的教學,在函數的教學中有著承上啟下的作用。它既是對已學一次函數及反比例函數的復習,又是對二次函數知識的延續和深化,為將來二次函數一般情形的教學乃至高中階段函數的教學打下基礎,做好鋪墊。

      2、教學目標

      (1)掌握二此函數的概念并能夠根據實際問題,熟練地列出二次函數關系式,并求出函數的自變量的取值范圍。注重學生參與,聯系實際,豐富學生的感性認識,培養學生的良好的學習習慣。[知識與技能目標]

      (2)讓學生經歷觀察、比較、歸納、應用,以及猜想、驗證的學習過程,使學生掌握類比、轉化等學習數學的方法,養成既能自主探索,又能合作探究的良好學習習慣。[過程與方法目標]

      (3)讓學生在數學活動中學會與人相處,感受探索與創造,體驗成功的喜悅,[情感、態度、價值觀目標]

      3、教學的重、難點

      重點:二次函數的概念和解析式

      難點:本節“合作學習”涉及的實際問題有的較為復雜,要求學生有較強的概括能力

      4、學情分析

      ①學生已掌握一次函數,反比例函數的概念,圖象的畫法,以及它們圖象的性質。②學生個性活潑,積極性高,初步具有對數學問題進行合作探究的意識與能力。

      ③初三學生程度參差不齊,兩極分化已形成。

      二、教法學法分析

      1、教法(關鍵詞:情境、探究、分層)

      基于本節課內容的特點和初三學生的年齡特征,我以“探究式”體驗教學法和“啟發式”教學法為主進行教學。讓學生在開放的情境中,在教師的引導啟發下,同學的合作幫助下,通過探究發現,讓學生經歷數學知識的形成和應用過程,加深對數學知識的理解。教師著眼于引導,學生著眼于探索,側重于學生能力的提高、思維的訓練。同時考慮到學生的個體差異,在教學的各個環節中進行分層施教。

      2、學法(關鍵詞:類比、自主、合作)

      根據學生的思維特點、認知水平,遵循“教必須以學為立足點”的教育理念,讓每一個學生自主參與整堂課的知識構建。在各個環節中引導學生類比遷移,對照學習。以自主探索為主,學會合作交流,在師生互動、生生互動中讓每個學生動口,動手,動腦,培養學生學習的主動性和積極性,使學生由“學會”變“會學”和“樂學”。

      3、教學手段

      采用多媒體教學,直觀呈現拋物線和諧、對稱的美,激發學生的學習興趣,參與熱情,增大教學容量,提高教學效率。

      三、教學過程

      完整的數學學習過程是一個不斷探索、發現、驗證的過程,根據新課標要求,根據“以人為本,以學定教”的教學理念,結合學生實際,制訂以下教學流程:

      (一)創設情境溫故引新

      以提問的形式復習一元二次方程的一般形式,一次函數,反比例函數的定義,然后讓學生欣賞一組優美的.有關拋物線的圖案,創設情境:

      (1)你們喜歡打籃球嗎?

      (2)你們知道:投籃時,籃球運動的路線是什么曲線?怎樣計算籃球達到最高點時的高度?

      從而引出課題《二次函數》,導入新課

      (二)合作學習,探索新知

      為了更貼近生活,我先設計了兩個和實際生活有關的練習題。鼓勵學生積極發言,充分調動學生的主動性。然后出示課本上的兩個問題,在這個環節中,我讓學生在教師的引導下,先獨立思考,再以小組為單位交流成果,以培養學生自主探索、合作探究的能力。四個解析式都列出來后。讓學生通過觀察與思考,這些解析式有什么共同特征,啟發學生用自己的語言總結,從而得出二次函數的概念,并且提高了學生的語言表達能力。

      學生在學習二次函數的概念時要求學生既要知道表示二次函數的解析式中字母的意義,還要能根據給出的函數解析式判斷一個函數是不是二次函數

      (三)當堂訓練鞏固提高

      由于學生層次不一,練習的設計充分考慮到學生的個體差異,滿足不同層次學生的學習需求,實現有“差異的”發展。讓每一個學生都感受成功的喜悅。我設計了3道練習題,其難易程度逐步提高,第一道題面對所有的學生,學生可以根據二次函數的概念直接判斷,但需要強調該化簡的必須化簡后才可以判斷。第二道題讓學生逆向思維,根據條件自己寫二次函數,從而加深了對二次函數概念的理解。最后一道題綜合性較強,可以提高他們的綜合素質。

      (四)小結歸納拓展轉化

      讓學生用自己的語言談談自己的收獲,可以將這一節的知識條理化,進一步掌握二次函數的概念。

      (五)布置作業學以致用

      作業分必做題、選做題,體現分層思想,通過作業,內化知識,檢驗學生掌握知識的情況,發現和彌補教與學中遺漏與不足。同時,選做題具有總結性,可引導學生研究二次函數,一次函數,正比例函數的聯系。

      四.評價分析

      本節課的教學從學生已有的認知基礎出發,以學生自主探索、合作交流為主線,讓學生經歷數學知識的形成與應用過程,加深對所學知識的理解,從而突破重難點。整節課注重學生能力的培養和習慣的養成。由于學生的層次不一,我全程關注每一個學生的學習狀態,進行分層施教,因勢利導,隨機應變,適時調整教學環節,實現評價主體和形式的多樣化,把握評價的時機與尺度,激發學生的學習興趣,激活課堂氣氛,使課堂教學達到最佳狀態。

      五.教學反思

      1.本節課通過學生合作交流,自己列出不同問題中的解析式,并通過觀察他們的共同特征,成功得出了二次函數的概念。

      2.本節課設計的以問題為主線,培養學生有條理思考問題的習慣和歸納概括能力,并重視培養學生的語言表達能力。同時不斷激發學生的探索精神,提高了學生分析和解決問題的能力。使學生有成功體驗。

      初中數學二次函數的教案 6

      學習目標:

      1、經歷確定二次函數表達式的過程,體會求二次函數表達式的思想方法;

      2、會用待定系數法確定二次函數表達式;

      3、通過學生自己的探索活動,培養數學應用意識。

      學習重點

      用待定系數法確定二次函數表達式;

      學習難點

      根據條件用待定系數法確定二次函數表達式;

      學習過程:

      一、學前準備

      1、敘述二次函數的表達式有哪幾種形式?

      2、敘述拋物線y=ax2y=ax2+bx+c、y=a(x—h)2+k的對稱軸與頂點坐標。

      3、我們在確定一次函數的關系式時,通常需要個獨立的條件:確定反比例函數的關系式時,通常只需要個條件:如果要確定二次函數的.關系式,又需要個條件?(學生思考討論后,回答)

      二、探究活動

      (一)獨立思考解決問題

      某建筑物采用薄殼型屋頂,屋頂的橫截面形狀為一段拋物線。他的拱寬AB為6m,拱高CO為0。9m。試建立適當的直角坐標系,寫出這段拋物線所對應的二次函數表達式

      (二)師生探究合作交流

      例1、已知二次函數的圖象經過點A(0,2)、B(1,0)、C(—2,3),求這個函數的表達式。

      (師生共同探討用待定系數法求表達式的方法)

      例2、已知拋物線的頂點為(—1,—6),且該圖象經過(2,3)求這個函數的表達式。(說明用頂點式的必要性)

      (三)練一練

      1、根據下列條件,分別求出對應的二次函數的關系式。

      (1)已知拋物線與x軸交于點M(—3,0)(5,0)且與y軸交于點(0,—3)

      (2)已知圖象頂點在原點,且圖象過點(2,8)

      (3)已知圖象頂點坐標是(—1,—2),且圖象過點(1,10)

      三、學習體會

      1、本節課你有哪些收獲?你還有哪些疑問?

      2、你認為老師上課過程中還有哪些須改進的地方?

      3、預習時的疑問解決了嗎?

      四、自我測試

      1、已知拋物線與x軸交于點M(—1,0)、(2,0),且經過點(1,2)

      求出二次函數的關系式。

      2、已知二次函數的圖象經過(1,0)與(2,5)兩點。

      求這個二次函數的解析式;

      3、已知拋物線經過點(—1,—1)(0,—2)(1,1)

      (1)求這個二次函數的解析式

      (2)指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標

      (3)這個函數有最大值還是最小值?這個值是多少?

      初中數學二次函數的教案 7

      教學目標

      1.知識與技能

      了解函數的概念,弄清自變量與函數之間的關系。

      2.過程與方法

      經歷探索函數概念的過程,感受函數的模型思想。

      3.情感、態度與價值觀

      培養觀察、交流、分析的思想意識,體會函數的實際應用價值。

      重、難點與關鍵

      1.重點:認識函數的概念。

      2.難點:對函數中自變量取值范圍的確定。

      3.關鍵:從實際出發,由具體到抽象,建立函數的模型。

      教學方法

      采用“情境──探究”的方法,讓學生從具體的情境中提升函數的思想方法。

      教學過程

      一、回顧交流,聚焦問題

      1.變量(P94)中5個思考題。

      【教師提問】

      同學們通過學習“變量”這一節內容,對常量和變量有了一定的認識,請同學們舉出一些現實生活中變化的實例,指出其中的常量與變量。

      【學生活動】思考問題,踴躍發言。(先歸納出5個思考題的`關系式,再舉例)

      【教師活動】激發興趣,鼓勵學生聯想

      2.在地球某地,溫度T(℃)與高度d(m)的關系可以挖地用T=10-來表示,請你根據這個關系式回答下列問題:

      (1)指出這個關系式中的變量和常量。

      (2)填寫下表。

      高度d/m0,200,400,600,800,1000

      溫度T/℃

      (3)觀察兩個變量之間的聯系,當其中一個變量取定一個值時,另一個變量就______。

      3.課本P7“觀察”。

      【學生活動】四人小組互動交流,踴躍發言

      二、討論交流,形成概念

      【函數定義】

      一般地,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那么我們就說x是自變量,y是x的函數。

      【教師活動】歸納出函數的定義。強調在上述活動中的關系式是函數關系式。提問學生,兩個變量中哪個是自變量呢?哪個是這個自變量的函數?

      【學生活動】辨析理解,如:T=10-這個函數關系式中,d是自變量,T是d的函數等,弄清函數定義中的問題。

      三、繼續探究,感知輕重

      課本P8探究題

      【學生活動】使用計算器進行探索活動,回答問題,理解函數概念。

      (1)y=2x+5,y是x的函數;

      (2)y=2x+1,y是x的函數。

      四、范例點擊,提高認知

      【例1】一輛汽車的油箱中現有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(單位:L)隨行駛里程x(單位:km)的增加而減少,平均耗油量為/km。

      (1)寫出表示y與x的函數關系的式子。

      (2)指出自變量x的取值范圍。

      (3)汽車行駛200km時,油箱中還有多少汽油?

      【教師活動】講例,啟發引導學生共同解決上述例1。

      五、隨堂練習,鞏固深化

      課本P99練習。

      六、課堂總結,發展潛能

      1.用數學式子表示函數的方法叫做表達式法(解析式法),它只是函數表示法的一種。

      2.求函數的自變量取值范圍的方法。

      (1)要使函數的表達式有意義;

      (2)對實際問題中的函數關系,要使實際問題有意義。

      3.把所給自變量的值代入函數表達式中,就可以求出相應的函數值。

      七、布置作業,專題突破

      課本P106習題14.1第1,2,3,4題。

      初中數學二次函數的教案 8

      教學目標:

      1、使學生能利用描點法正確作出函數y=ax2+b的圖象。

      2、讓學生經歷二次函數y=ax2+b性質探究的過程,理解二次函數y=ax2+b的性質及它與函數y=ax2的關系。

      教學重點

      會用描點法畫出二次函數y=ax2+b的圖象,理解二次函數y=ax2+b的性質,理解函數y=ax2+b與函數y=ax2的`相互關系。

      教學難點:

      正確理解二次函數y=ax2+b的性質,理解拋物線y=ax2+b與拋物線y=ax2的關系。

      教學過程:

      一、提出問題導入新課

      1.二次函數y=2x2的圖象具有哪些性質?

      2.猜想二次函數y=2x2+1的圖象與二次函數y=2x2的圖象開口方向、對稱軸和頂點坐標是否相同?

      二、學習新知

      1、問題1:畫出函數y=2x2和函數y=2x2+1的圖象,并加以比較

      問題2,你能在同一直角坐標系中,畫出函數y=2x2與y=2x2+1的圖象嗎?

      同學試一試,教師點評。

      問題3:當自變量x取同一數值時,這兩個函數的函數值(既y)之間有什么關系?反映在圖象上,相應的兩個點之間的位置又有什么關系?

      讓學生觀察兩個函數圖象,說出函數y=2x2+1與y=2x2的圖象開口方向、對稱軸相同,頂點坐標,函數y=2x2的圖象的頂點坐標是(0,0),而函數y=2x2+1的圖象的頂點坐標是(0,1)。

      師:你能由函數y=2x2的性質,得到函數y=2x2+1的一些性質嗎?

      小組相互說說(一人記錄,其余組員補充)

      2、小組匯報:分組討論這個函數的性質并歸納:當x<0時,函數值y隨x的增大而減小;當x>0時,函數值y隨x的增大而增大,當x=0時,函數取得最小值,最小值y=1。

      3、做一做

      在同一直角坐標系中畫出函數y=2x2-2與函數y=2x2的圖象,再作比較,說說它們有什么聯系和區別?

      三、小結

      1、在同一直角坐標系中,函數y=ax2+k的圖象與函數y=ax2的圖象具有什么關系?

      2、你能說出函數y=ax2+k具有哪些性質?

      四、作業:在同一直角坐標系中,畫出(1)y=-2x2與y=-2x2-2;的圖像

      初中數學二次函數的教案 9

      【知識與技能】

      1.會用描點法畫二次函數y=ax2+bx+c的圖象。

      2.會用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、開口方向、對稱軸、y隨x的增減性。

      3.能通過配方求出二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值;能利用二次函數的性質求實際問題中的最大值或最小值。

      【過程與方法】

      1.經歷探索二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的作法和性質的過程,體會建立二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)對稱軸和頂點坐標公式的必要性。

      2.在學習y=ax2+bx+c(a≠0)的性質的過程中,滲透轉化(化歸)的思想。

      【情感態度】

      進一步體會由特殊到一般的化歸思想,形成積極參與數學活動的`意識。

      【教學重點】

      ①用配方法求y=ax2+bx+c的頂點坐標;

      ②會用描點法畫y=ax2+bx+c的圖象并能說出圖象的性質。

      【教學難點】

      能利用二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標公式,解決一些問題,能通過對稱性畫出二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象。

      一、情境導入,初步認識

      請同學們完成下列問題。

      1.把二次函數y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式。

      2.寫出二次函數y=-2x2+6x-1的開口方向,對稱軸及頂點坐標。

      3.畫y=-2x2+6x-1的圖象。

      4.拋物線y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的圖象。

      5.二次函數y=-2x2+6x-1的y隨x的增減性如何?

      二、思考探究,獲取新知

      探究1如何畫y=ax2+bx+c圖象,你可以歸納為哪幾步?

      一般分為三步:

      1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標。

      2.列表,描點,連線畫出對稱軸右邊的部分圖象。

      3.利用對稱點,畫出對稱軸左邊的部分圖象。

      探究2二次函數y=ax2+bx+c圖象的性質有哪些?你能試著歸納嗎?

      初中數學二次函數的教案 10

      目標設計

      知識與技能:通過本節學習,鞏固二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與性質,理解頂點與最值的關系,會用頂點的性質求解最值問題。

      能力訓練要求

      1、能夠分析實際問題中變量之間的二次函數關系,并運用二次函數的知識求出實際問題的最大(小)值發展學生解決問題的能力,學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。

      2、通過觀察圖象,理解頂點的特殊性,會把實際問題中的最值轉化為二次函數的最值問題,通過動手動腦,提高分析解決問題的能力,并體會一般與特殊的關系,培養數形結合思想,函數思想。

      情感與價值觀要求

      1、在進行探索的活動過程中發展學生的探究意識,逐步養成合作交流的習慣。

      2、培養學生學以致用的習慣,體會體會數學在生活中廣泛的應用價值,激發學生學習數學的興趣、增強自信心。

      方法設計

      由于本節課是應用問題,重在通過學習總結解決問題的方法,故而本節課以“啟發探究式”為主線開展教學活動,解決問題以學生動手動腦探究為主,必要時加以小組合作討論,充分調動學生學習積極性和主動性,突出學生的主體地位,達到“不但使學生學會,而且使學生會學”的目的。為了提高課堂效率,展示學生的學習效果,適當地輔以電腦多媒體技術。

      教學過程

      設計思路:最值問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一,它生活背景豐富,學生比較感興趣,對九年級學生來說,在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后,對函數的思想已有初步認識,對分析問題的方法已會初步模仿,能識別圖象的增減性和最值,但在變量超過兩個的實際問題中,還不能熟練地應用知識解決問題,而面積問題學生易于理解和接受,故而在這兒作此調整,為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型,解決實際問題的能力,這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。目的在于讓學生通過掌握求面積最大這一類題,學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題,此部分內容既是學習一次函數及其應用后的鞏固與延伸,又為高中乃至以后學習更多函數打下堅實的理論和思想方法基礎。

      (一)前情回顧:

      1.復習二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象、頂點坐標、對稱軸和最值

      2.(1)求函數y=x2+2x-3的最值。

      (2)求函數y=x2+2x-3的最值。(0≤x≤3)

      3.拋物線在什么位置取最值?

      (二)適當點撥,自主探究

      1、在創設情境中發現問題

      請你畫一個周長為40厘米的矩形,算算它的面積是多少?再和同學比比,發現了什么?誰的面積最大?

      2、在解決問題中找出方法

      某工廠為了存放材料,需要圍一個周長40米的矩形場地,問矩形的長和寬各取多少米,才能使存放場地的面積最大?

      (問題設計思路:把前面矩形的周長40厘米改為40米,變成一個實際問題,目的在于讓學生體會其應用價值??我們要學有用的數學知識。學生在前面探究問題時,已經發現了面積不唯一,并急于找出最大的,而且要有理論依據,這樣首先要建立函數模型,合作探究中在選取變量時學生可能會有困難,這時教師要引導學生關注哪兩個變量,就把其中的一個主要變量設為x,另一個設為y,其它變量用含x的代數式表示,找等量關系,建立函數模型,實際問題還要考慮定義域,畫圖象觀察最值點,這樣一步步突破難點,從而讓學生在不斷探究中悟出利用函數知識解決問題的'一套思路和方法,而不是為了做題而做題,為以后的學習奠定思想方法基礎。)

      3、在鞏固與應用中提高技能

      例1:小明的家門前有一塊空地,空地外有一面長10米的圍墻,為了美化生活環境,小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃,他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄(如圖所示),花圃的寬AD究竟應為多少米才能使花圃的面積最大?

      (設計思路:例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景,從知識的角度來看,求矩形面積也較容易,我在此設計了一個條件墻長10米來限制定義域,目的在于告訴學生一個道理,數學不能脫離生活實際,估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值,導致錯解,此時教師再提醒學生通過畫函數的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義,體會頂點與端點的不同作用,加深對知識的理解,做到數與形的完美結合,通過此題的有意訓練,學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解,這樣既培養了學生思維的嚴密性,又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。)

      解:設垂直于墻的邊AD=x米,則AB=(32-2x)米,設矩形面積為y米2,得到:

      Y=x(32-2x)=-2x2+32x

      [錯解]由頂點公式得:

      x=8米時,y最大=128米2

      而實際上定義域為11≤x?16,由圖象或增減性可知x=11米時,y最大=110米2

      (設計思路:例1的設計也是尋找了學生熟悉的家門口的生活背景,從知識的角度來看,求矩形面積也較容易,我在此設計了一個條件墻長10米來限制定義域,目的在于告訴學生一個道理,數學不能脫離生活實際,估計大部分學生在求解時還會在頂點處找最值,導致錯解,此時教師再提醒學生通過畫函數的圖象輔助觀察、理解最值的實際意義,體會頂點與端點的不同作用,加深對知識的理解,做到數與形的完美結合,通過此題的有意訓練,學生必然會對定義域的意義有更加深刻的理解,這樣既培養了學生思維的嚴密性,又為今后能靈活地運用知識解決問題奠定了堅實的基礎。)

      (三)總結交流:

      (1)同學們經歷剛才的探究過程,想想解決此類問題的思路是什么?

      引導學生分析解題循環圖:

      (2)在探究發現這些判定方法的過程中運用了什么樣的數學方法?

      (四)掌握應用:

      圖中窗戶邊框的上半部分是由四個全等扇形組成的半圓,下部分是矩形。如果制作一個窗戶邊框的材料總長為15米,那么如何設計這個窗戶邊框的尺寸,使透光面積最大(結果精確到0.01m2)?(設計思路:先出示如圖圖形,然后引伸到課本中的圖形,讓學生有一個思考遞進的空間。)

      (五)我來試一試:

      如圖在Rt△ABC中,點P在斜邊AB上移動,PM⊥BC,PN⊥AC,M,N分別為垂足,已知AC=1,AB=2,求:

      (1)何時矩形PMCN的面積最大,把最大面積是多少?

      (2)當AM平分∠CAB時,矩形PMCN的面積。

      (六)智力闖關:

      如圖,用長20cm的籬笆,一面靠墻圍成一個長方形的園子,怎樣圍才能使園子的面積最大?最大面積是多少?

      作業:課本隨堂練習、習題1,2,3

      課后反思

      二次函數的應用本身是學習二次函數的圖象與性質后,檢驗學生應用所學知識解決實際問題能力的一個綜合考查。新課標中要求學生能通過對實際問題的情境的分析確定二次函數的表達式,體會其意義,能根據圖象的性質解決簡單的實際問題。本節課充分運用導學提綱,教師提前通過一系列問題串的設置,引導學生課前預習,在課堂上通過對一系列問題串的解決與交流,讓學生通過掌握求面積最大這一類題,學會用建模的思想去解決其它和函數有關應用問題。

      教材中設計先探索最大利潤問題,對九年級學生來說,在學習了一次函數和二次函數圖象與性質以后,對函數的思想已有初步認識,對分析問題的方法已會初步模仿,能識別圖象的增減性和最值,但在變量超過兩個的實際問題中,還不能熟練地應用知識解決問題,而面積問題學生易于理解和接受,故而在這兒作此調整,為求解最大利潤等問題奠定基礎。從而進一步培養學生利用所學知識構建數學模型,解決實際問題的能力,這也符合新課標中知識與技能呈螺旋式上升的規律。所以在例題的處理中適當的降低了梯度,讓學生思維有一個拓展的空間,也有收獲快樂和成就感。在訓練的過程中,通過學生的獨立思考與小組合作探究相結合,使學生的分析能力、表達能力及思維能力都得到訓練和提高。同時也注重對解題方法與解題模式的歸納與總結,并適當地滲透轉化、化歸、數形結合等數學思想方法。

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