大學數學關于數列極限與函數極限的實驗報告
篇一：大學數學實驗 數列極限與函數極限
一、實驗目的
從劉徽的割圓術、裴波那奇數列研究數列的收斂性并抽象出極限的定義；理解數列收斂的準則；理解函數極限與數列極限的關系。
二、實驗材料
1.1割圓術
中國古代數學家劉徽在《九章算術注》方田章圓田術中創造了割圓術計算圓周率。劉徽先注意到圓內接正多邊形的面積小于圓面積；其次，當將邊數屢次加倍時，正多邊形的面積增大，邊數愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積。
“割之彌細，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣。”這幾句話明確地表明了劉徽的極限思想。
以Sn表示單位圓的圓內接正32n1多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列
Mathematica程序可以從量和形兩個角度考察數列{Sn}的收斂情況：
m=2;n=15;k=10;
n1 For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];(圓內接正32多邊形邊長)
n1 s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圓內接正32多邊形面積)
r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];
Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]
]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](數組)
ListPlot[t] (散點圖)
1.2裴波那奇數列和黃金分割
由F00;F11;FnFn1Fn2有著名的裴波那奇數列{Fn}。 如果令Rn1Fn1Fn，由Fn遞推公式可得出
1
1Fn1/Fn11Rn1RnFnFnFn1115[，Fn25n1152n1]；
limRnlimnFnFn1n512。
用下列Mathematica程序可以從量和形兩個角度考察數列{Rn}的收斂情況：
n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定義裴波那奇數列通項)
rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];
Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];
] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]
1.3收斂與發散的數列
數列{i1inp}當p1時收斂，p1時發散；數列{sinn}發散。
1.4函數極限與數列極限的關系
用Mathematica程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x]
Plot[f[x],{x,-r,r}]
Limit[f[x],x->x0]
觀察f(x)xsinx1的圖象可以發現，函數在x0點處不連續，且函數值不存在，但在x0點處有極限。
令xan1/n,n1,2,,100，作函數的取值表，畫散點圖看其子列的趨向情況
k=10;p=25;
a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]
ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]
分別取不同的數列an(要求an0)，重做上述過程，并將各次所得圖形的分析結果比
較，可知各子列的極限值均為上述函數的極限值。
對于g(x)sinx1，類似地考察在x0點處的極限。
三、實驗準備
認真閱讀實驗目的與實驗材料后要正確地解讀實驗，在此基礎上制定實驗計劃（修改、補充或編寫程序，提出實驗思路，明確實驗步驟），為上機實驗做好準備。
3.1考察數列斂散性
改變或增大n，觀察更多的項（量、形），例如，n分別取50，100，200，…；擴展有效數字k，觀察隨n增大數列的變化趨勢，例如，k分別取20，30，50；或固定50；或隨n增大而適當增加。對實驗要思考，例如，定義中的指標與柯西準則中的指標間的差異；數列收斂方式；又例如，如何估計極限近似值的誤差。
3.2考察函數極限與數列極限的關系
改變函數及極限類型，例如，考慮六種函數極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數列，改變參數觀察更多的量，考察形的變化趨勢；擴展有效數字k，提高計算精度。要對實驗思考，歸納數列斂散與函數斂散的關系。
篇二：數學分析習作-數列極限與函數極限的異同
摘 要
極限是數學中極其重要的概念之一，極限的思想是人們認知數學世界解決數學問題的重要武器，是高等數學這個龐大的數學體系得以建立的基礎和基石；
極限在數學中處于基礎的地位，它是解決微積分等一系列重要數學問題的前提和基礎；
極限是一種思維，在學習高數時最好理解透徹了，在線代中沒什么用.但是概率中用的比較多，另外物理中許多都用到了極限的思維，它也能幫助更好的理解一些物理知識； 在高等數學中，極限是一個重要的概念，極限可分為數列極限與函數極限，下面是關于兩種極限的簡要聯系與說明。
關鍵詞：數列極限與函數極限的定義，存在條件，性質，運算
一 數列極限與函數極限的定義
1、 數列與函數：
a、數列的定義：數列是指按自然數編了號的一串數：x1，x2，x3，，xn，. 通常記作{xn}，也可將其看作定義在自然數集N上的'函數xn=f(n),nN， 故也稱之為整標函數。
b、函數的定義：如果對某個范圍X內的每一個實數x，可以按照確定的規律f，
得到Y內唯一一個實數y和這個x對應，我們就稱f是X上的函數，它在x的數值（稱為函數值）是y，記為f(x)，即yf(x)。
稱x是自變量，y是因變量，又稱X是函數的定義域，當x遍取X內的所有實
數時，在f的作用下有意義，并且相應的函數值f(x)的全體所組成的范圍叫作函數f的值域，要注意的是：值域不一定就是Y，它當然不會比Y大，但它可
能比Y小。
2、 （一） 數列極限的定義：
對數列{xn}，若存在常數A，對0,NN,nN，有
n
x
數列收斂且收斂于A，并稱數列{xn}的極限為A，記為limx
1
0. nn
11
證明：分析過程，欲使0,
nn
1
只需n即可，故
n
A，則稱
n
=A.
例1.試用定義驗證：lim
11
0,N1,nN:0.
n
例2.試用定義驗證：lim(1q1).
n
證明：分析過程.欲使qn0q
n
，
只需n
lg
（注意lgq0）。故 lgq
lgn
0，Nmax,1,nN:q0.
lgq
對于比較復雜的表達式xnAn，一般地，我們通過運算,適當放大，將n
變形簡化到n，既使得對于0由不等式n能比較容易求得N，又使得當
nN時，恒成立不等式N，從而有xnnn。以下各例的解法中都
貫穿這一思路。
例3.試用定義驗證：lim
n
n2n21
. 2
3n2n43
n2
證明：分析過程.
n2n215n10
3n22n433(3n22n4)
5n1
9n2n. 故，
n2n21
0,Nmax{,2},nN:3n22n4.
例4.試用定義驗證：lima11(a1).
n
證明：分析過程.欲使a1a1n，注意到a1n， 利用不等式Bernoulli得，
只需n
a
.故n
a
0,N1,nN：a.
例5．試用定義驗證：lim
n
n1.
證明:分析過程.仿照上例的證法，記n1n，有
n(n1)2
n(1n)n1n，
2
2
只需n.故
n
2
0，N21，n.N：n.
例6.關于數列xn，證明：若對于某個常數A以及q(0,1)，N0N，nN0：xnqxn1，
則有limxnA.
n
證明：由limqn0可知，
n
0,N1N,nN1:0q
n
qNoxN0A1
,于是由題設可得，
nmaxN0,N1:
xnAqnN0xN0A.
11
，nN.證明：limxn. 1xn2n
證明:顯然xn0，注意到 例7.設x11，xn1 xn1
于是由例6即得所證。
251xn. 32
5112251xn21xn21(51)(1x0)
（二）函數極限的定義：
0，Xa，x(X,)f(x)A，定義1設f:(,b)R，若存在AR，
則稱當x趨于時的極限為A，記為
limf(x)A或f(x)A(x).
n
類似的，
設F:(,b)R，若存在AR，0,Xb,x(,X):f(x)A,
則稱當趨于-時的極限為A，記為
limf(x)A或f(x)A(x).
n
定義2.設f:RR，若存在AR，0,X0,xX,:f(x),,
則稱當x趨于時f(x)的極限為A，記為
limf(x)A或f(x)A(x).
x
下面討論當x趨于某一實數x0時函數的變化情況
函數f(x)在點x0處的左極限，右極限也可分別記作f(x00)，f(x00)左極限，右極限統稱為單側極限.
若f在x0的某去心鄰域中有定義，則由定義可知：
lim
xxo
f(x)存在limf(x)和limf(x)均存在且相
xxxx00等.
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