高考數(shù)學(xué)關(guān)于平面向量、復(fù)數(shù)的專項(xiàng)練習(xí)試題
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一、選擇題
1.若復(fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是純虛數(shù)，其中m是實(shí)數(shù)，i2=-1，則等于( )
A. 1 B.- 1 C. 2 D.-2
答案：D 解題思路：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是純虛數(shù)，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，則==-.
2.設(shè)復(fù)數(shù)z=-i·sin θ，其中i為虛數(shù)單位，θR，則|z|的取值范圍是( )
A.[1，3 ] B.[-1，3]
C.[1， 2] D.[1，4 ]
答案：D 命題立意：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及三角最值的求解，難度中等.
解題思路：據(jù)已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1， ]，當(dāng)sin θ=-1,1時(shí)分別取得最小值與最大值.
3.(呼和浩特第一次統(tǒng)考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，則|2a+3b|等于( )
A. B.4 C.3 D.2
答案：B 命題立意：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度中等.
解題思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.
4.已知向量a，b是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，向量a+λb(λR)與向量a-2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值為( )
A.1 B.-1 C.2 D.0
答案：D 命題立意：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算與平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算.
解題思路：由題意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，從而可得1+-1-2λ=0，即λ=0.
5.已知A，B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且|AB|=，單位圓的圓心為O，則·=( )
A.- B.
C.- D.
答案：C 命題立意：本題以單位圓為依托，考查平面向量的數(shù)量積、平面向量的基本定理.
解題思路：由題意知，單位圓的弦AB所對的圓心角AOB=120°，故·=·(-)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故選C.
6.定義一種運(yùn)算如下：=x1y2-x2y1，復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是( )
A.-1+(-1)i B.-1-(-1)i
C.+1+(+1)i D.+1-(+1)i
答案：B 命題立意：考查對新概念的理解及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難度中等.
解題思路：由題意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i， 共軛復(fù)數(shù)是-1-(-1)i，故選B.
易錯(cuò)點(diǎn)撥：注意分析新定義的運(yùn)算規(guī)則中字母的順序.
7.在直角坐標(biāo)系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夾角平分線上的一點(diǎn)，且||=2，則的坐標(biāo)是( )
A. B.(-，)
C. D.(-，1)
答案：A 命題立意：本題考查向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算，正確地表示出的線性表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.
解題思路：因?yàn)?(-6，-4)，=(-2,3)，由點(diǎn)P是角平分線上的一點(diǎn)，故=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故選A.
8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP=.若=λ+μ(λ，μR)，則λ+μ的最大值為( )
A. B.
C. D.
答案：B 命題立意：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及均值不等式的應(yīng)用，難度中等.
解題思路：據(jù)已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理變形得(λ+μ)2-2λμ=，據(jù)均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故選B.
9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，點(diǎn)P為邊BC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則關(guān)于·(+)的值，正確的是( )
A.最大值為4 B.為定值2
C.最小值為1 D.與P的位置有關(guān)
答案：B 命題立意：本題考查向量的運(yùn)算，難度中等.
解題思路：利用向量的運(yùn)算法則求解.取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則·(+)=2·=2||2=2，故選B.
舉一反三：平面幾何圖形中的向量問題要充分應(yīng)用圖象的幾何特征，一般解法有建系法和基底法兩種.
10.對于單位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
答案：B 命題立意：本題考查了平面向量的概念及坐標(biāo)運(yùn)算公式、充要條件的判斷問題，屬推理與分析能力考查題型，難度較大.
解題思路： a1，a2均為單位向量，若a1+a2=(，1)，則a1=a2=，反之，若a1=，則a1+a2=(，1)不一定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分條件，故選B.
易錯(cuò)點(diǎn)撥：充要條件的判斷需要通過命題的正反角度分別推理，正確判斷兩個(gè)命題的真假方可得出正確的結(jié)論.
二、填空題
11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b為非零向量，若a(a+b)，則k=________.
答案：0 命題立意：本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積，難度中等.
解題思路：依題意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.
12.如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上.若·=2，則·的值是________.
答案：6 命題立意：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算能力.
解題思路：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則由題意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，設(shè)F(4，m)，其中0≤m≤2，則=(0，-2)，=(4，m-2).
·=2，
-2(m-2)=2， m=1，
F(4,1)，=(4,1).
又 =(2，-2)， ·=8-2=6.
13.在ABC中，B=60°，O為ABC的外心，P為劣弧AC上一動(dòng)點(diǎn)，且=x+y(x，yR)，則x+y的取值范圍為________.
答案：[1,2] 命題立意：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及均值不等式的應(yīng)用，難度中等.
解題思路：據(jù)已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，由P為劣弧AC上一動(dòng)點(diǎn)知x≥0且y≥0(等號不能同時(shí)取得)，從而x+y≥1(x，y中恰有一個(gè)為0時(shí)取等號).又據(jù)均值不等式得x+y=≤(x>0，y>0)，解得0
14.設(shè)G為ABC的重心，若ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足+2+2=0，則的值等于________.
答案：2 命題立意：本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合思想，難度中等.
解題思路：取BC的中點(diǎn)D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，說明P，A，D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在BC邊的中線上，且||=4||，如圖所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此=×=2.
15.(東北四市二次聯(lián)考)對于命題：
若O是線段AB上一點(diǎn)，則有||·+||·=0.
將它類比到平面的情形是：
若O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有SOBC·+SO CA·+SOBA·=0.
將它類比到空間的情況應(yīng)該是：
若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有_________________________.
答案：VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0
命題立意：本題考查了類比推理及推理證明問題，從平面到空間的類比推理是新課標(biāo)高考中常見的類比推理題型的命題方式.
解題思路：由線段到平面，線段的長類比為面積，由平面到空間，面積可類比為體積，由此可以類比得一命題為，若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.
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