高中數(shù)學(xué)解題方法匯總
篇一：高中數(shù)學(xué)重要解題方法與技巧
目 錄
前言 ……………………………………………………… 2
第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 ……………………… 3
一、 配方法 ……………………………………… 3
二、 換元法 ……………………………………… 7
三、 待定系數(shù)法 ………………………………… 14
四、 定義法 ……………………………………… 19
五、 數(shù)學(xué)歸納法 ………………………………… 23
六、 參數(shù)法 ……………………………………… 28
七、 反證法 ……………………………………… 32
八、 消去法 ………………………………………
九、 分析與綜合法 ………………………………
十、 特殊與一般法 ………………………………
十一、 類比與歸納法 …………………………
十二、 觀察與實(shí)驗(yàn)法 …………………………
第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 …………………… 35
一、 數(shù)形結(jié)合思想 ……………………………… 35
二、 分類討論思想 ……………………………… 41
三、 函數(shù)與方程思想 …………………………… 47
四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 ………………………… 54
第三章 高考熱點(diǎn)問(wèn)題和解題策略 …………………… 59
一、 應(yīng)用問(wèn)題 …………………………………… 59
二、 探索性問(wèn)題 ………………………………… 65
三、 選擇題解答策略 …………………………… 71
四、 填空題解答策略 …………………………… 77
附錄 ………………………………………………………
一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 …………………………
二、 兩套高考模擬試卷 …………………………
三、 參考答案 ……………………………………
前 言
美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問(wèn)題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。
高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：
① 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去
法等；
② 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；
③ 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、
歸納和演繹等；
④ 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化
歸）思想等。
數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。
數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。
可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。
為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。
在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問(wèn)題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡(jiǎn)單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方法和問(wèn)題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。
第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法
一、 配方法
配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。
最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。
配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
b3a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋)2＋（b）2； 22
1a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] 2
2222a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝?
結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；
111x2＋2＝(x＋)2－2＝(x－)2＋2 ；?? 等等。 xxx
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，則 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A.<k<1 B. k<或k>1 C. k∈R D. k＝或k＝1
3. 已知sin4α＋cos4α＝1，則sinα＋cosα的值為______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函數(shù)y＝log1 (－2x2＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。
A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)
5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的兩根x1、x2，則點(diǎn)P(x1,x2)在圓x2+y2=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____。
【簡(jiǎn)解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)am?pam?p＝am2，將已知等式左邊后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。
2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。
4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。
5小題：答案3－。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，則?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求對(duì)角線長(zhǎng)x2?y2?z2，將其配湊成兩已知式的組合?4(x?y?z)?24?
形式可得。
【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12
?2(xy?yz?xz)?11條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得：?。 ?4(x?y?z)?24
長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝62?11＝5
所以選B。
【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。
例2. 設(shè)方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若(p2q2)+()≤7成立，求實(shí)qp
數(shù)k的取值范圍。
【解】方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , p2q2[(p?q)2?2pq]2?2p2q2(p2?q2)2?2p2q2p4?q4
()+()＝＝＝＝qp(pq)2(pq)2(pq)2
(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－或k≥ 。 4
又 ∵p、q為方程x2＋kx＋2=0的兩實(shí)根， ∴ △＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22
綜合起來(lái)，k的取值范圍是：－≤k≤－22 或者 22≤k≤。
【注】 關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。
ba例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2＋ab＋b2=0，求()1998＋()1998 。 a?ba?b
aaa【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()2＋()＋1＝0，則＝ω （ω為bbb
1的立方虛根）；或配方為(a＋b)2＝ab 。則代入所求式即得。
aa【解】由a2＋ab＋b2=0變形得：()2＋()＋1＝0 ， bb
a1b設(shè)ω＝，則ω2＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω3＝ba?3＝1。
又由a2＋ab＋b2=0變形得：(a＋b)2＝ab ，
baaba2
999b2
99919981998所以 ()＋()＝()＋()＝()999＋()999＝ωa?bbaa?babab
999＋999＝2 。
【注】 本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。
篇二：高中數(shù)學(xué)解題方法大全
前言..................................2
第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法 ................ 3
一、 配方法 ................... 3
二、 換元法 ................. 7
三、 待定系數(shù)法................... 14
四、 定義法.................... 19
五、 數(shù)學(xué)歸納法 .................. 23
六、 參數(shù)法 ................. 28
七、 反證法.................32
八、 消去法 ..............
九、 分析與綜合法.................
十、 特殊與一般法 ...................
十一、 類比與歸納法 ....................
十二、 觀察與實(shí)驗(yàn)法 ..............
第二章 高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想 .......... 35
一、 數(shù)形結(jié)合思想 ................. 35
二、 分類討論思想 .................... 41
三、 函數(shù)與方程思想 .................... 47
四、 轉(zhuǎn)化（化歸）思想 ............. 54
第三章 高考熱點(diǎn)問(wèn)題和解題策略 ............................ 59
一、 應(yīng)用問(wèn)題 ........................ 59
二、 探索性問(wèn)題........................ 65
三、 選擇題解答策略 ............................71
四、 填空題解答策略............................. 77
附錄 .........................
一、 高考數(shù)學(xué)試卷分析 ..........................
二、 兩套高考模擬試卷 .................................
三、 參考答案 ...........................
美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一個(gè)新問(wèn)題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。
高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：
① 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等； ② 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；
③ 數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等；
④ 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。
數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。
數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。
可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。
為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。
在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問(wèn)題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡(jiǎn)單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)方法和問(wèn)題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。
第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法
一、 配方法
配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。
最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。
配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab； 2222222
b22a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）； 22
1222222a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)] 22222
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝? 結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋222222211212＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；?? 等等。 x2xx
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，則 a3＋a5＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A. 4<k<1 B. k<4或k>1 C. k∈R D. k＝4或k＝1 22
3. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函數(shù)y＝log1 (－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。
442
A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x1、x2，則點(diǎn)P(x1,x2)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____。
【簡(jiǎn)解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)am?pam?p＝am，將已知等式左邊后配方（a3＋a5）易求。答案是：5。
2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選B。 3小題：已知等式經(jīng)配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。
4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。 5小題：答案3－。
Ⅱ、示范性題組： 22222222222222
例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，則?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求對(duì)角線長(zhǎng)?4(x?y?z)?24?x2?y2?z2，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。
【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)
?2(xy?yz?xz)?11度之和為24”而得：?。 4(x?y?z)?24?
長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：x2?y2?z2＝x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝62?11＝5
所以選B。
【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。
p2q2例2. 設(shè)方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()≤7成立，求實(shí)數(shù)kqp2
的取值范圍。
【解】方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , 2
(p2?q2)2?2p2q2[(p?q)2?2pq]2?2p2q2p2q2p4?q4
()+()＝＝＝＝22qp(pq)2(pq)(pq)
(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－或k≥ 。 4
又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實(shí)根， ∴ △＝k－8≥0即k≥22或k≤－2
綜合起來(lái)，k的取值范圍是：－≤k≤－2 或者 22≤k≤。
【注】 關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。 22
ba19981998)＋() 。 a?ba?b
a2aa【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω （ω為1的立bbb例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a＋ab＋b=0，求(22
方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab 。則代入所求式即得。 2
【解】由a＋ab＋b=0變形得：(
設(shè)ω＝
1。
222a2a)＋()＋1＝0 ， bba1b233，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝b?a22又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab ，
baa2
999b2
999a999b99919981998所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ωa?bbaa?babab
999999＋＝2 。
【注】 本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。
a2ab?1?i)＋()＋1＝0 ，解出＝后，bba2
a999b999化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式()＋()后，完成后面的運(yùn)算。此方法ba(來(lái)自:www.sMHaiDa.com 海 達(dá)范文網(wǎng):高中數(shù)學(xué)解題方法)
?1?i用于只是未聯(lián)想到ω時(shí)進(jìn)行解題。 2【另解】由a＋ab＋b＝0變形得：(22
假如本題沒有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝22
?1?ib，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡(jiǎn)后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛2
定理完成最后的計(jì)算。
Ⅲ、鞏固性題組：
1. 函數(shù)y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。 222a?b(a?b)A. 8 B. C. D.最小值不存在 2222
2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實(shí)根，則(α-1) +(β-1)的最小值是
_____。
A. －4 B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2＋8有_____。
A.最大值22 B.最大值2 C.最小值2 B.最小值2 22?xy222
4. 橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化簡(jiǎn)：2?sin8＋2?2cos8的結(jié)果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 設(shè)F1和F2為雙曲線x－y＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2＝22222
4
90°，則△F1PF2的面積是_________。
27. 若x>－1，則f(x)＝x＋2x＋1的最小值為___________。 x?1
篇四：高一數(shù)學(xué)解題技巧口訣
高一數(shù)學(xué)解題技巧口訣
編輯員:zhangwei19910302
高一數(shù)學(xué)技巧多，總結(jié)規(guī)律繁化簡(jiǎn)；概括知識(shí)難變易，高中數(shù)學(xué)巧記憶。
言簡(jiǎn)意賅易上口，結(jié)合課本勝一籌。始生之物形必丑，拋磚引得白玉出。
一、《集合與函數(shù)》
內(nèi)容子交并補(bǔ)集，還有冪指對(duì)函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。
復(fù)合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細(xì)證明它，還須將那定義抓。
指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非1的正數(shù)，1兩邊增減變故。
函數(shù)定義域好求。分母不能等于0，偶次方根須非負(fù)，零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)；
正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實(shí)數(shù)集，多種情況求交集。
兩個(gè)互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對(duì)稱，Y＝X是對(duì)稱軸；
求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來(lái)函數(shù)
的`值域。
冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分?jǐn)?shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，
奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負(fù)。
二、《立體幾何》
點(diǎn)線面三位一體，柱錐臺(tái)球?yàn)榇怼＞嚯x都從點(diǎn)出發(fā)，角度皆為線線成。
垂直平行是重點(diǎn)，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對(duì)之間循環(huán)現(xiàn)。
方程思想整體求，化歸意識(shí)動(dòng)割補(bǔ)。計(jì)算之前須證明，畫好移出的圖形。
立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對(duì)于解題最關(guān)鍵。
異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問(wèn)題一大片。
三、《平面解析幾何》
有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合稱典范。
笛卡爾的觀點(diǎn)對(duì)，點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)，兩者—一來(lái)對(duì)應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑。
兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說(shuō)待定系數(shù)法，實(shí)為方程組思想。
三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。
四件工具是法寶，坐標(biāo)思想?yún)?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復(fù)數(shù)求。
解析幾何是幾何，得意忘形學(xué)不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學(xué)本是數(shù)形學(xué)。
篇五：高中數(shù)學(xué)解題方法大全
第一章 高中數(shù)學(xué)解題基本方法
一、 配方法
配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過(guò)配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。
最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲線的平移變換等問(wèn)題。
配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：
a2 ＋b2＝(a＋b)2 －2ab＝(a－b)2 ＋2ab；
a2 ＋ab＋b2 ＝(a＋b)2 －ab＝(a－b)2 ＋3ab；
a2 ＋b2 ＋c2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1[(a＋b)2 ＋(b＋c) 2＋(c＋a) 2] 2
a 2＋b 2＋c 2＝(a＋b＋c) 2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2 －2(ab－bc－ca)＝?
結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） ；
x ＋ ＝(x＋ ) －2＝(x－ ) ＋2 ；?? 等等。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1. 在正項(xiàng)等比數(shù)列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，則 a ＋a ＝_______。
2. 方程x ＋y －4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。
A.<k<1 B. k< 或k>1 C. k∈R D. k＝ 或k＝1
3. 已知sin α＋cos α＝1，則sinα＋cosα的值為______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函數(shù)y＝log (－2x ＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____。
A. （－∞, ] B. [ ,+∞) C. (－ , ] D. [ ,3)
5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的兩根x 、x ，則點(diǎn)P(x ,x )在圓x +y =4上，則實(shí)數(shù)a＝_____。
【簡(jiǎn)解】 1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)a a ＝a ，將已知等式左邊后配方（a ＋a ） 易求。答案是：5。
2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解r >0即可，選B。
3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin α＋cos α) －2sin αcos α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。
4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。 5小題：答案3－ 。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對(duì)角線長(zhǎng) ，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。
【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z，由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”而得： 。
長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為： ＝ ＝ ＝5
所以選B。
【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。
例2. 設(shè)方程x ＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，若( ) +( ) ≤7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
【解】方程x ＋kx＋2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
( ) +( ) ＝ ＝ ＝ ＝ ≤7， 解得k≤－ 或k≥ 。
又 ∵p、q為方程x ＋kx＋2=0的兩實(shí)根， ∴ △＝k －8≥0即k≥2 或k≤－2
綜合起來(lái)，k的取值范圍是：－ ≤k≤－ 或者 ≤k≤ 。
【注】 關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對(duì)“△”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“△”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。
例3. 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a ＋ab＋b =0，求( ) ＋( ) 。
【分析】 對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為( ) ＋( )＋1＝0，則 ＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b) ＝ab 。則代入所求式即得。
【解】由a ＋ab＋b =0變形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，
設(shè)ω＝ ，則ω ＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以： ＝ ，ω ＝ ＝1。
又由a ＋ab＋b =0變形得：(a＋b) ＝ab ，
所以 ( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝( ) ＋( ) ＝ω ＋ ＝2 。
【注】 本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質(zhì)，計(jì)算表達(dá)式中的高次冪。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開。
【另解】由a ＋ab＋b ＝0變形得：( ) ＋( )＋1＝0 ，解出 ＝ 后，化成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式( ) ＋( ) 后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于只是未 聯(lián)想到ω時(shí)進(jìn)行解題。 假如本題沒有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由a ＋ab＋b ＝0解出：a＝ b，直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化簡(jiǎn)后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的計(jì)算。 Ⅲ、鞏固性題組：
1. 函數(shù)y＝(x－a) ＋(x－b) （a、b為常數(shù)）的最小值為_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
2. α、β是方程x －2ax＋a＋6＝0的兩實(shí)根，則(α-1) +(β-1) 的最小值是_____。
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
3. 已知x、y∈R ，且滿足x＋3y－1＝0，則函數(shù)t＝2 ＋8 有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
4. 橢圓x －2ax＋3y ＋a －6＝0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
5. 化簡(jiǎn)：2 ＋ 的結(jié)果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 設(shè)F 和F 為雙曲線 －y ＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F PF ＝90°，則△F PF 的面積是_________。
7. 若x>－1，則f(x)＝x ＋2x＋ 的最小值為___________。
8. 已知 〈β<α〈 π，cos(α-β)＝ ，sin(α+β)＝－ ，求sin2α的值。(92年高考題)
9. 設(shè)二次函數(shù)f(x)＝Ax ＋Bx＋C，給定m、n（m<n）,且滿足A [(m+n) + m n ]＋2A[B(m+n)
－Cmn]＋B ＋C ＝0 。
① 解不等式f(x)>0；
② 是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使當(dāng)t∈(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0 .若不存在，說(shuō)出理由；若存在，指出t的取值范圍。
10. 設(shè)s>1，t>1，m∈R，x＝log t＋log s，y＝log t＋log s＋m(log t＋log s),
① 將y表示為x的函數(shù)y＝f(x)，并求出f(x)的定義域；
② 若關(guān)于x的方程f(x)＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。
二、換元法
解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。
它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。
換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先變形為設(shè)2 ＝t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問(wèn)題。
三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y＝ ＋ 的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)x＝sin α ，α∈[0, ]，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件x ＋y ＝r （r>0）時(shí)，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問(wèn)題。
均值換元，如遇到x＋y＝S形式時(shí)，設(shè)x＝ ＋t，y＝ －t等等。
我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和α∈[0, ]。
Ⅰ、再現(xiàn)性題組：
1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.設(shè)f(x ＋1)＝log (4－x ) （a>1），則f(x)的值域是_______________。
3.已知數(shù)列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a ，則數(shù)列通項(xiàng)a ＝___________。
4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x ＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是___________。
5.方程 ＝3的解是_______________。
6.不等式log (2 －1) ?log (2 －2)〈2的解集是_______________。
【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx＝t∈[－ , ]，則y＝ ＋t－ ，對(duì)稱軸t＝－1，當(dāng)t＝ ，y ＝ ＋ ； 2小題：設(shè)x ＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log [-(t-1) ＋4]，所以值域?yàn)?－∞,log 4]；
3小題：已知變形為 － ＝－1,設(shè)b ＝ ，則b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；
4小題：設(shè)x＋y＝k，則x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小題：設(shè)3 ＝y(tǒng)，則3y ＋2y－1＝0,解得y＝ ，所以x＝－1；
6小題：設(shè)log (2 －1)＝y(tǒng)，則y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log ,log 3)。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 實(shí)數(shù)x、y滿足4x －5xy＋4y ＝5 （ ①式） ，設(shè)S＝x ＋y ，求 ＋ 的值。（93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）
【分析】 由S＝x ＋y 聯(lián)想到cos α＋sin α＝1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè) 代入①式求S 和S 的值。
【解】設(shè) 代入①式得： 4S－5S? sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤ ≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
此種解法后面求S最大值和最小值，還可由sin2α＝ 的有界性而求，即解不等式：| |≤1。這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。
【另解】 由S＝x ＋y ，設(shè)x ＝ ＋t，y ＝ －t，t∈[－ ， ]，
則xy＝± 代入①式得：4S±5 =5，
移項(xiàng)平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。
∴ 39S －160S＋100≤0 解得： ≤S≤
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
【注】 此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S＝x ＋y 與三角公式cos α＋sin α＝1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值換元的思路，設(shè)x ＝ ＋t、y ＝ －t，減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。
和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)，可以設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a ＋13b ＝5 ，求得a ∈[0, ]，所以S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝2(a ＋b )＝ ＋ a ∈[ , ]，再求 ＋ 的值。
例2． △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A＋C＝2B， ＋ ＝－ ，求cos 的值。（96年全國(guó)理）
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得 ；由“A＋C＝120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè) ，再代入可求cosα即cos 。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，設(shè) ，代入已知等式得：
＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝－2 ,
解得：cosα＝ ， 即：cos ＝ 。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－
＝－2 ，設(shè) ＝－ ＋m， ＝－ －m ，
所以cosA＝ ，cosC＝ ，兩式分別相加、相減得：
cosA＋cosC＝2cos cos ＝cos ＝ ，
cosA－cosC＝－2sin sin ＝－ sin ＝ ，
即：sin ＝－ ，＝－ ，代入sin ＋cos ＝1整理得：3m －16m－12＝0,解出m ＝6，代入cos ＝ ＝ 。
【注】 本題兩種解法由“A＋C＝120°”、“ ＋ ＝－2 ”分別進(jìn)行均值換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除由已知想到均值換元外，還要求對(duì)三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＋ ＝－ ＝－2 ，即cosA＋cosC＝－2 cosAcosC，和積互化得： 2cos cos ＝－ [cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos ＝ － cos(A-C)＝ － (2cos －1)，整理得：4 cos ＋2cos －3 ＝0,
例3. 設(shè)a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a 的最大值和最小值。
【解】 設(shè)sinx＋cosx＝t，則t∈[- , ]，由(sinx＋cosx) ＝1＋2sinx?cosx得：sinx?cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－ (t－2a) ＋ （a>0），t∈[- , ]
t＝- 時(shí)，取最小值：－2a －2 a－
當(dāng)2a≥ 時(shí)，t＝ ，取最大值：－2a ＋2 a－ ；
當(dāng)0<2a≤ 時(shí)，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值為－2a －2 a－ ，最大值為 。
【注】 此題屬于局部換元法，設(shè)sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx與sinx?cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t∈[- , ]）與sinx＋cosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。
一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。
例4. 設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x，不等式x log ＋2x log ＋log >0恒成立，求a的取值范圍。（87年全國(guó)理）
【分析】不等式中l(wèi)og 、 log 、log 三項(xiàng)有何聯(lián)系.進(jìn)行對(duì)數(shù)式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。
【解】 設(shè)log ＝t，則log ＝log ＝3＋log ＝3－log ＝3－t，log ＝2log ＝－2t， 代入后原不等式簡(jiǎn)化為（3－t）x ＋2tx－2t>0，它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：
，解得 ∴ t<0即log <0
0<<1，解得0<a<1。
【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中l(wèi)og 、 log 、log 三項(xiàng)之間的聯(lián)系。在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對(duì)數(shù)運(yùn)算十分熟練。一般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。
例5. 已知 ＝ ，且 ＋ ＝ (②式)，求 的值。
【解】 設(shè) ＝ ＝k，則sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sin θ＋cos θ＝k (x +y )＝1,代入②式得： ＋ ＝ ＝ 即： ＋ ＝
設(shè) ＝t，則t＋ ＝ , 解得：t＝3或 ∴ ＝± 或±
【另解】 由 ＝ ＝tgθ，將等式②兩邊同時(shí)除以 ，再表示成含tgθ的式子：1＋tg θ＝ ＝ tg θ，設(shè)tg θ＝t，則3t —10t＋3＝0，
∴t＝3或 ， 解得 ＝± 或± 。
【注】 第一種解法由 ＝ 而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。第二種解法將已知變形為 ＝ ，不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tgθ，再進(jìn)行換元和變形。兩種解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換元法使方程次數(shù)降低。
【高中數(shù)學(xué)解題方法】相關(guān)文章：
高中數(shù)學(xué)解題方法09-05
高中數(shù)學(xué)解題方法：華羅庚的退步解題方法10-26
高中數(shù)學(xué)解題方法總結(jié)09-22
高中數(shù)學(xué)解題方法思想08-24
高中數(shù)學(xué)解題方法講解09-03
高中數(shù)學(xué)快速解題方法02-03
高中數(shù)學(xué)解題基本方法11-16
高中數(shù)學(xué)經(jīng)典解題方法11-26
高中數(shù)學(xué)常用解題方法11-16
高中數(shù)學(xué)解題方法大全11-17