奧數數論問題奇偶分析練習題
1、設標有A，B，C，D，E，F，G的7盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關。現在A，C，D，G這4盞燈亮著，其余3盞燈沒亮。小華從燈A開始順次拉動開關，即從A到G，再從A開始順次拉動開關，他這樣拉動了999次開關后，哪些燈亮著，哪些燈沒亮?
解：一盞燈的開關被拉動奇數次后，將改變原來的狀態，即亮的變成熄的，熄的變成亮的;而一盞燈的開關被拉動偶數次后，不改變原來的狀態。由于
999=7×142+5，
因此，燈A，B，C，D，E各被拉動143次開關，燈F，G各被拉動142次開關。所以，當小華拉動999次后B，E，G亮，而A，C，D，F熄。
2、桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動77枚，第2次翻動其中的76枚，第3次翻動其中的75枚……第77次翻動其中的1枚。按這樣的方法翻動硬幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上?說明你的理由。
分析：對每一枚硬幣來說，只要翻動奇數次，就可使原先朝下的一面朝上。這一事實，對我們解決這個問題起著關鍵性作用。
解：按規定的翻動，共翻動1+2+…+77=77×39次，平均每枚硬幣翻動了39次，這是奇數。因此，對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到
77×39=77+(76+1)+(75+2)+…+(39+38)，
根據規定，可以設計如下的翻動方法：
第1次翻動77枚，可以將每枚硬幣都翻動一次;第2次與第77次共翻動77枚，又可將每枚硬幣都翻動一次;同理，第3次與第76次，第4次與第75次……第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動一次。這樣每枚硬幣都翻動了39次，都由正面朝下變為正面朝上。
說明：(1)此題也可從簡單情形入手(如9枚硬幣的情形)，按規定的翻法翻動硬幣，從中獲得啟發。
(2)對有關正、反，開、關等實際問題通常可化為用奇偶數關系討論。
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