大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：曲線積分
在數(shù)學(xué)中，曲線積分或路徑積分是積分的一種。積分函數(shù)的取值沿的不是區(qū)間，而是特定的曲線，稱(chēng)為積分路徑。曲線積分有很多種類(lèi)，當(dāng)積分路徑為閉合曲線時(shí)，稱(chēng)為環(huán)路積分或圍道積分。下面是其相關(guān)內(nèi)容，一起來(lái)學(xué)習(xí)下吧：
基本簡(jiǎn)介：
舉例
先看一個(gè)例子：設(shè)有一曲線形構(gòu)件占xOy面上的一段曲線 ，
設(shè)構(gòu)件的密度分布函數(shù)為ρ(x,y)，設(shè)ρ(x,y)定義在L上且在L上連續(xù)，求構(gòu)件的質(zhì)量。對(duì)于密度均勻的物件可以直接用ρV求得質(zhì)量;對(duì)于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。
定義
設(shè)L為xOy平面上的一條光滑的簡(jiǎn)單曲線弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一點(diǎn)列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n個(gè)小弧段ΔLi的'長(zhǎng)度為ds，又Mi(x,y)是L上的任一點(diǎn)，作乘積f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，記λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的極限在當(dāng)λ→0的時(shí)候存在，且極限值與L的分法及Mi在L的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)極限值為f(x,y)在L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，記為：∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，L叫做積分曲線，對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分也叫第一類(lèi)曲線積分。
(上述定義并不完全嚴(yán)謹(jǐn)，給出新的定義)：在矢量場(chǎng)A中，任取一連接點(diǎn)P0與P1的光滑曲線c，此時(shí)向量OP0記作R0，向量OP1記作R1，用ΔR表示位于曲線C的切線上，以切點(diǎn)為始點(diǎn)而模 (其中ΔR為粗體)等于弧元ΔR的小矢量，作標(biāo)積ΔU=A ΔR= ΔR，A是ΔR始點(diǎn)的矢量， 是A在弧的切線 上的投影。將所有弧元ΔR的標(biāo)積相加，并使弧元數(shù)量無(wú)限制增加且使得每一弧元長(zhǎng)度趨向于0，求U的極限，所以U=。我們稱(chēng)U為矢量A沿曲線c的曲線積分。
類(lèi)別
曲線積分分為：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 (第一類(lèi)曲線積分)
對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分(第二類(lèi)曲線積分)
兩種曲線積分的區(qū)別主要在于積分元素的差別;對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的積分元素是弧長(zhǎng)元素ds;例如：對(duì)L的曲線積分∫f(x,y)*ds 。對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分的積分元素是坐標(biāo)元素dx或dy，例如：對(duì)L’的曲線積分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分由于有物理意義，通常說(shuō)來(lái)都是正的，而對(duì)坐標(biāo)軸的曲線積分可以根據(jù)路徑的不同而取得不同的符號(hào)。
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