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數(shù)學(xué)概念、定義的學(xué)習(xí)方法

時(shí)間：2021-01-14 13:04:28 學(xué)習(xí)方法

　　學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、定義，貴在抓住本質(zhì)。下面是小編為大家?guī)?lái)的數(shù)學(xué)概念、定義的學(xué)習(xí)方法，歡迎閱讀。

數(shù)學(xué)概念、定義的學(xué)習(xí)方法

　　一、數(shù)學(xué)概念、定義的學(xué)習(xí)方法

　　學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、定義，貴在抓住本質(zhì)，可從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

　　(一)通過(guò)概念、定義的形式來(lái)理解數(shù)學(xué)概念、定義是通過(guò)模式(或?qū)嵗?、圖形、計(jì)算等引入的.加強(qiáng)對(duì)概念、定義形成的認(rèn)識(shí)，可增強(qiáng)直觀效果，有助于對(duì)概念、定義的正確理解.

　　1.通過(guò)模式(或?qū)嵗?引入如初一代數(shù)式是這樣引入的：象4+3(x-1)、x+x+(x+1)、a+b、ab、2(m+n)、、a3等式子都是代數(shù)式;初二一次函數(shù)是這樣引入的：若兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù);初三分式是這樣引入的：整式A除以整式B，可以寫成(B≠0)的形式，如果除式B中含有分母，那么稱為分式，等等.我們?cè)趯W(xué)習(xí)事件、全等圖形、方程(組)、不等式(組)、函數(shù)時(shí)都是采用通過(guò)模式(或?qū)嵗?來(lái)引入的.

　　2.通過(guò)圖形引入如初一學(xué)習(xí)的三角形是通過(guò)生活中的屋頂?shù)膶?shí)物圖引入的;初一學(xué)習(xí)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等都是通過(guò)圖形引入的;初二以后學(xué)習(xí)的平行四邊形、梯形的概念是通過(guò)四邊形引入的，菱形、矩形的概念是通過(guò)平行四邊形引入的，正方形的概念是通過(guò)矩形引入的，等等.

　　3.通過(guò)計(jì)算引入如初一的科學(xué)計(jì)數(shù)法，初二學(xué)習(xí)的平方根、立方根，初三學(xué)習(xí)的比例線段等都是通過(guò)計(jì)算引入的.

　　(二)將概念、定義進(jìn)行解剖來(lái)理解如對(duì)初三同類二次根式的理解：“幾個(gè)二次根式化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式后”指的是同類二次根式首先必須是最簡(jiǎn)二次根式，“如果被開方數(shù)相同”指的是被開方數(shù)必須相同，從而具備了“最簡(jiǎn)二次根式”和“被開方數(shù)相同”這兩個(gè)條件的根式才是同類二次根式.

　　(三)通過(guò)變式或舉反例來(lái)理解如初三反比例函數(shù)的定義形式是，這個(gè)式子可以等價(jià)變形為或 ;也可以舉反例與定義比較，進(jìn)一步清楚字母系數(shù)與自變量的區(qū)別.

　　(四)通過(guò)對(duì)比或類比來(lái)理解如可以利用對(duì)比的方法，找出初一線段、射線、直線三個(gè)概念或全等三角形、相似三角形、位似三角形三個(gè)概念等的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，加深對(duì)它們的理解;再如學(xué)習(xí)分式的概念時(shí)，可以類比分?jǐn)?shù)的概念，加深對(duì)分式分母不能為0的理解.

　　(五)通過(guò)舉錯(cuò)例來(lái)理解如提出初一“ ”，初三“ 不是分式”等，揭示有理數(shù)的實(shí)質(zhì)，突顯分式概念.再如舉初二“對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形”來(lái)加深對(duì)菱形概念的理解.

　　(六)通過(guò)對(duì)知識(shí)系統(tǒng)化來(lái)理解如學(xué)完整式、分式、根式后，要找出它們本質(zhì)的不同;如學(xué)完四邊形后，可以將幾種特殊四邊形歸在一起去比較;學(xué)完函數(shù)、方程后，可以將幾種不同函數(shù)、幾種不同方程進(jìn)行對(duì)比;學(xué)完對(duì)稱圖形后，可以將軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形做一比較，弄清它們的實(shí)質(zhì)，等等.

　　二、公式(法則)、定理的學(xué)習(xí)方法

　　學(xué)習(xí)公式(法則)、定理時(shí)，要找出它們的條件和結(jié)論(公式的左邊可以看做條件，右邊可以看做結(jié)論)，要清楚它們的推導(dǎo)或證明過(guò)程，要達(dá)到會(huì)用的目的.貴在學(xué)會(huì)“三用”：正用、逆用、變用.

　　如初三梯形中位線定理的條件是“梯形中位線”，結(jié)論是“平行于兩底，且等于兩底和的一半”，結(jié)論既體現(xiàn)了位置關(guān)系也體現(xiàn)了數(shù)量關(guān)系.梯形中位線定理的證明過(guò)程是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將梯形轉(zhuǎn)化為三角形或一個(gè)平行四邊形及一個(gè)三角形，利用三角形中位線定理來(lái)證.

　　再如初二勾股定理，正用可以得到三邊的數(shù)量關(guān)系，逆用可以判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形.

　　同學(xué)如能恰當(dāng)?shù)啬嬗没蜃冇霉?法則)，既可以使運(yùn)算過(guò)程更加簡(jiǎn)捷，又可以鍛煉逆向思維;如能清楚定理成立的條件，應(yīng)用的范圍，就可以正確地運(yùn)用定理.

　　三、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的學(xué)習(xí)方法

　　了解何謂數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模，清楚應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟.

　　所謂數(shù)學(xué)模型，是指通過(guò)抽象和模擬，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言(文字、符號(hào)、圖形)和方法對(duì)所解決的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行的一種刻畫.

　　常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型有：方程(組)、不等式(組)、函數(shù)、幾何、概率等.

　　方程(組)刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的等量關(guān)系;不等式(組)刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系，如設(shè)計(jì)投資決策、人口控制、資源保護(hù)、生產(chǎn)規(guī)劃、商品銷售、交通運(yùn)輸?shù)?函數(shù)或代數(shù)式刻畫變量之間的相互關(guān)系，涉及成本低、利潤(rùn)或產(chǎn)出最大、效益最好等實(shí)際問(wèn)題;幾何涉及圖形面積的計(jì)算、合理下料、跑道的設(shè)計(jì)與計(jì)算、工程選點(diǎn)定位、優(yōu)化設(shè)計(jì)等應(yīng)用問(wèn)題;概率涉及到提前預(yù)測(cè)相關(guān)事件發(fā)生的可能性大小等.

　　一般地，通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程稱為數(shù)學(xué)建模.

　　數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：(1)明確實(shí)際問(wèn)題，并熟悉問(wèn)題的背景;(2)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型;(3)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，獲得數(shù)學(xué)模型的解答;(4)回到實(shí)際問(wèn)題，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ�，解釋結(jié)果.

　　下面根據(jù)相應(yīng)模型舉幾個(gè)例子，并給出解答過(guò)程.

　　1.方程(組)模型

　　解題思路：合理設(shè)未知數(shù)，根據(jù)已知的或隱含的等量關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式，然后解方程(組)，驗(yàn)證解的合理性

　　如(初一)：在月歷上用正方形圈出2 2個(gè)數(shù)的和是76，這4個(gè)數(shù)分別是幾號(hào)?

　　解：設(shè)最小的數(shù)為x，則其余3個(gè)數(shù)分別為x+1，x+7，x+8.

　　根據(jù)題意，得 x +x+1+x+7+x+8=76，4 x=60，x =15.

　　因此，這4天分別是15號(hào)，16號(hào)，22號(hào)，23號(hào).

　　如(初二)某地區(qū)實(shí)施“退耕還林”工程.退耕還林后林場(chǎng)與耕地共有168公頃，其中耕地面積僅占林場(chǎng)面積的'20%.退耕還林后林場(chǎng)和耕地的面積分別是多少?

　　解：設(shè)退耕還林后林場(chǎng)的面積為公頃，則有方程組 .解略.

　　再如(初三)：今年1月1日起政府調(diào)整了汽油價(jià)格，每升汽油的價(jià)格下降了10%.去年2月份李老師用了汽油1000元，而今年2月份李老師用了汽油450元.已知李老師去年2月份用油量比今年2月份用油量多100升，求今年每升汽油多少元?

　　解：設(shè)去年每升汽油元，根據(jù)題意，得 .解，得， =4.5.答：今年每升汽油4.5元.解這題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，對(duì)“下降了”要正確理解.

　　2.不等式(組)模型

　　解題思路：合理設(shè)未知數(shù)，根據(jù)已知的或隱含的不等關(guān)系，列出含有未知數(shù)的不等式(組)，然后解不等式(組)，最后驗(yàn)證解的合理性.

　　如(初二)：某單位決定購(gòu)買8臺(tái)空調(diào)，現(xiàn)有甲、乙兩種空調(diào)供選擇.甲種空調(diào)每臺(tái)0.8萬(wàn)元，乙種空調(diào)每臺(tái)0.5萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)預(yù)算，本次購(gòu)買空調(diào)所耗資金不能超過(guò)4.6萬(wàn)元.

　　(1)設(shè)購(gòu)買甲種空調(diào)x臺(tái)，請(qǐng)寫出x應(yīng)滿足的不等式;

　　(2)寫出所有的購(gòu)買方案?

　　解：(1) ;(2)解不等式，得 .因?yàn)閤為整數(shù)，

　　所以x=0，1，2.

　　第一種方案是賣0臺(tái)甲空調(diào)，8臺(tái)乙空調(diào);

　　第一種方案是賣1臺(tái)甲空調(diào)，7臺(tái)乙空調(diào);

　　第一種方案是賣2臺(tái)甲空調(diào)，6臺(tái)乙空調(diào).

　　“不能超過(guò)”隱含著不等關(guān)系，這是選用不等式模型的主要依據(jù).

　　3.函數(shù)模型

　　解題思路：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題或幾何中的等量關(guān)系，求出函數(shù)的解析式.

　　如(初二)：某長(zhǎng)途汽車客運(yùn)站規(guī)定，乘客可以免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，但超過(guò)該質(zhì)量則需購(gòu)買行李票，且行李票y(元)是行李質(zhì)量x(千克)的一次函數(shù)，現(xiàn)知李明帶了60千克的行李，交了行李費(fèi)5元;張華帶了90千克的行李，交了行李費(fèi)10元.

　　(1)寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)旅客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李?

　　解：(1)設(shè)y=k x+b, 根據(jù)題意，可得方程組

　　.解得k= ，b=-5.∴y= x-5.

　　(2)當(dāng)x=30時(shí)y=0.

　　所以旅客最多可以攜帶30千克的行李.

　　4.幾何模型

　　解題思路：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，然后根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)去求解.

　　如(初二)要在公路旁修建一個(gè)蔬菜收購(gòu)站，由蔬菜基地A，B向收購(gòu)站運(yùn)送蔬菜，收購(gòu)站應(yīng)建在什么地方，才能使從A，B到它的距離之和最短?

　　這題可以歸結(jié)為一個(gè)數(shù)學(xué)模型：“在直線上找一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線外兩點(diǎn)的距離之和最小”.

　　5.概率模型

　　解題思路：必須找出等可能結(jié)果的總數(shù)和某一事件可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)公式求解.

　　如(初二)：小孫設(shè)的微機(jī)密碼由6位數(shù)字組成，每位上的數(shù)字都是0~9這十個(gè)數(shù)字中的一個(gè).小孫忘了密碼，如果他任意撥一個(gè)密碼，恰好打開微機(jī)的概率是 .答案是 .