探析高中數學學習方法之對稱問題分類
高中數學學習方法之對稱問題分類探析
一、點關于已知點或已知直線對稱點問題
1、設點P(x，y)關于點(a,b)對稱點為P′(x′，y′)，
x′=2a-x
由中點坐標公式可得：y′=2b-y
2、點P(x，y)關于直線L：Ax+By+C=O的對稱點為
x′=x-(Ax+By+C)
P′(x′，y′)則
y′=y-(AX+BY+C)
事實上：∵PP′⊥L及PP′的中點在直線L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程組可得結論。
(- )=-1(B≠0)
特別地，點P(x，y)關于
1、x軸和y軸的對稱點分別為(x，-y)和(-x，y)
2、直線x=a和y=a的對標點分別為(2a-x，y)和(x，2a-y)
3、直線y=x和y=-x的對稱點分別為(y，x)和(-y，-x)
例1 光線從A(3,4)發出后經過直線x-2y=0反射，再經過y軸反射，反射光線經過點B(1,5)，求射入y軸后的反射線所在的直線方程。
解：如圖，由公式可求得A關于直線x-2y=0的對稱點
A′(5,0)，B關于y軸對稱點B′為(-1,5)，直線A′B′的方程為5x+6y-25=0
`C(0, )
`直線BC的方程為：5x-6y+25=0
二、曲線關于已知點或已知直線的對稱曲線問題
求已知曲線F(x，y)=0關于已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F(x，y)=O上任意一點(x，y)關于已知點或已知直線的對稱點的坐標替換方程F(x，y)=0中相應的作稱即得，由此我們得出以下結論。
1、曲線F(x，y)=0關于點(a,b)的對稱曲線的方程是F(2a-x，2b-y)=0
2、曲線F(x，y)=0關于直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0
特別地，曲線F(x，y)=0關于
(1)x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F(x，-y)和F(-x，y)=0
(2)關于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0
(3)關于直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0
除此以外還有以下兩個結論：對函數y=f(x)的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關于y軸的對稱圖象得到y=f(x)的圖象;保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y=f(x)的圖象。
例2(全國高考試題)設曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度后得曲線C1：
1)寫出曲線C1的方程
2)證明曲線C與C1關于點A( , )對稱。
(1)解 知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s
(2)證明 在曲線C上任取一點B(a,b)，設B1(a1,b1)是B關于A的對稱點，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：
s-b1=(t-a1)3-(t-a1)
`b1=(a1-t)3-(a1-t)+s
`B1(a1,b1)滿足C1的方程
`B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點關于點A的對稱點在曲線C上
`曲線C和C1關于a對稱
我們用前面的結論來證：點P(x,y)關于A的對稱點為P1(t-x,s-y)，為了求得C關于A的對稱曲線我們將其坐標代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x)
`y=(x-t)3-(x-t)+s
此即為C1的.方程，`C關于A的對稱曲線即為C1。
三、曲線本身的對稱問題
曲線F(x,y)=0為(中心或軸)對稱曲線的充要條件是曲線F(x,y)=0上任意一點P(x,y)(關于對稱中心或對稱軸)的對稱點的坐標替換曲線方程中相應的坐標后方程不變。
例如拋物線y2=-8x上任一點p(x,y)與x軸即y=0的對稱點p′(x,-y)，其坐標也滿足方程y2=-8x，`y2=-8x關于x軸對稱。
例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：
A、關于y軸對稱 B、關于直線x+y=0對稱
C、關于原點對稱 D、關于直線x-y=0對稱
解：在方程中以-x換x，同時以-y換y得
(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變
`曲線關于原點對稱。
函數圖象本身關于直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結論：
1、函數f(x)定義線為R，a為常數，若對任意x∈R，均有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關于x=a對稱。
這是因為a+x和a-x這兩點分別列于a的左右兩邊并關于a對稱，且其函數值相等，說明這兩點關于直線x=a對稱，由x的任意性可得結論。
例如對于f(x)若t∈R均有f(2+t)=f(2-t)則f(x)圖象關于x=2對稱。若將條件改為f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)結論又如何呢?第一式中令t=1+m則得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m，也得f(2+m)=f(2-m)，所以仍有同樣結論即關于x=2對稱，由此我們得出以下的更一般的結論：
2、函數f(x)定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f(a+x)=f(b-x)，則其圖象關于直線x= 對稱。
我們再來探討以下問題：若將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結論又如何呢?試想如果2改成0的話得f(t)=-f(t)這是奇函數，圖象關于(0,0)成中心對稱，現在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移，由此我們猜想，圖象關于M(2，0)成中心對稱。如圖，取點A(2+t，f(2+t))其關于M(2，0)的對稱點為A′(2-x，-f(2+x))
∵-f(2+X)=f(2-x)`A′的坐標為(2-x，f(2-x))顯然在圖象上
`圖象關于M(2，0)成中心對稱。
若將條件改為f(x)=-f(4-x)結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：
3、f(X)定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f(a+x)=-f(b-x)，則其圖象關于點M(，0)成中心對稱。
三角形面積公式
由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。 平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。 三條直線所圍成的圖形叫平面三角形；三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。
面積公式：
（1）S＝ah/2
(2).已知三角形三邊a,b,c，則 （海倫公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S＝1/2 * absinC
(4).設三角形三邊分別為a、b、c，內切圓半徑為r
S=(a+b+c)r/2
(5).設三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R
S=abc/4R
(6).根據三角函數求面積：
S= absinC/2 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
注:其中R為外切圓半徑。
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