當前位置：優秀范文網>學習知識>數學>高中數學>高考數列求和的基本方法和技巧

高考數列求和的基本方法和技巧

時間：2022-10-11 08:19:27 高中數學

2017高考數列求和的基本方法和技巧

　　導語:有壓力，但不會被壓垮;迷茫，但永不絕望。下面是小編為大家整理的，數學知識，更多相關信息請關注CNFLA學習網!

2017高考數列求和的基本方法和技巧

　　考試內容：

　　分類計數原理與分步計數原理.

　　排列.排列數公式.

　　組合.組合數公式.組合數的兩個性質.

　　二項式定理.二項展開式的性質.

　　考試要求：(1)掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題.(2)理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題.(3)理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題.(4)掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.

　　排列組合二項定理知識要點

　　一、兩個原理.

　　1. 乘法原理、加法原理.

　　2. 可以有重復元素的排列.

　　從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復排列數m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法? (解：種)

　　3.計數原理知識點

　　①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分類)

　　二、排列.

　　1. ⑴對排列定義的理解.

　　定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

　　⑵相同排列.

　　如果;兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.

　　⑶排列數.

　　從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號表示.

　　(4)排列(有序)與組合(無序)

　　Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!

　　Cnm = n!/(n-m)!m!

　　Cnm= Cnn-m　　Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!

　　(5)排列數公式：

　　注意：規定0! = 1

　　規定

　　2. 含有可重元素的排列問題.

　　對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復數為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個數等于.

　　例如：已知數字3、2、2，求其排列個數又例如：數字5、5、5、求其排列個數?其排列個數.

　　三、組合.

　　1. ⑴組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

　　⑵組合數公式：

　　⑶兩個公式：① ②

　　①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.

　　(或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有)

　　②根據組合定義與加法原理得;在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C種，依分類原理有.

　　⑷排列與組合的聯系與區別.

　　聯系：都是從n個不同元素中取出m個元素.

　　區別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關系，后者無順序關系.

　　⑸①幾個常用組合數公式

　　②常用的證明組合等式方法例.

　　i. 裂項求和法. 如：(利用)

　　ii. 導數法. iii. 數學歸納法. iv. 倒序求和法.

　　v. 遞推法(即用遞推)如：.

　　vi. 構造二項式. 如：

　　證明：這里構造二項式其中的系數，左邊為

　　，而右邊

　　四、排列、組合綜合.

　　1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：

　　①直接法. ②排除法.

　　③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某個元素必相鄰的排列有個.其中是一個“整體排列”，而則是“局部排列”.

　　又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數為.

　　②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有.

　　③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有.

　　注：①③區別在于①是確定的座位，有種;而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.

　　④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.

　　例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數為多少?(插空法)，當n – m+1≥m, 即m≤時有意義.

　　⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素;從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.

　　⑥調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.

　　例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法?

　　解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二：(比例分配法).

　　⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.

　　例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法?有(平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了)又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少?

　　()

　　注意：分組與插空綜合. 例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法?有，當n – m+1 ≥m, 即m≤時有意義.

　　⑧隔板法：常用于解正整數解組數的問題.

　　例如：的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數目依次為顯然，故()是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式(如圖

　　所示)故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數等于插隔板的方法數.

　　注意：若為非負數解的x個數，即用中等于，有，進而轉化為求a的正整數解的個數為 .

　　⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有.

　　例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在(或不固定在)某一位置上，共有多少種排法?

　　固定在某一位置上：;不在某一位置上：或(一類是不取出特殊元素a，有，一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的)

　　⑩指定元素排列組合問題.

　　i. 從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列(或組合)，規定某r個元素都包含在內。先C后A策略，排列;組合.

　　ii. 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列(或組合)，規定某r個元素都不包含在內。先C后A策略，排列;組合.

　　iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列(或組合)，規定每個排列(或組合)都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列;組合.

　　II. 排列組合常見解題策略：

　　①特殊元素優先安排策略;②合理分類與準確分步策略;③排列、組合混合問題先選后排的策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列);④正難則反，等價轉化策略;⑤相鄰問題插空處理策略;

　　⑥不相鄰問題插空處理策略;⑦定序問題除法處理策略;⑧分排問題直排處理的策略;⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略;⑩構造模型的策略.

　　2.排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排

　　排列組合題的主要解題方法：優先法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.

　　捆綁法(集團元素法，把某些必須在一起的元素視為一個整體考慮)

　　插空法(解決相間問題)　　間接法和去雜法等等

　　在求解排列與組合應用問題時，應注意：

　　(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題;

　　(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理;

　　(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏;

　　(4)列出式子計算和作答.

　　經常運用的數學思想是：

　　①分類討論思想;②轉化思想;③對稱思想.

　　3. 組合問題中分組問題和分配問題.

　　①均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為(其中A為非均勻不編號分組中分法數).如果再有K組均勻分組應再除以.

　　例：10人分成三組，各組元素個數為2、4、4，其分法種數為.若分成六組，各組人數分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數為

　　②非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為

　　例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：種.

　　若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有種

　　③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為.

　　例：10人分成三組，人數分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數為

　　④非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數為…

　　例：10人分成三組，每組人數分別為2、3、5，其分法種數為若從10人中選出6人分成三組，各組人數分別為1、2、3，其分法種數為.

　　五、二項式定理.

　　1.二項式定理知識點：

　　①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn

　　特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

　　②主要性質和主要結論：對稱性Cnm=Cnn-m

　　最大二項式系數在中間。(要注意n為奇數還是偶數，答案是中間一項還是中間兩項)

　　所有二項式系數的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n

　　奇數項二項式系數的和=偶數項而是系數的和

　　Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1

　　③通項為第r+1項：　Tr+1= Cnran-rbr 作用：處理與指定項、特定項、常數項、有理項等有關問題。

　　2.二項式定理的應用：

　　解決有關近似計算、整除問題，運用二項展開式定理并且結合放縮法證明與指數有關的不等式。

　　3.注意二項式系數與項的系數(字母項的系數，指定項的系數等，指運算結果的系數)的區別，在求某幾項的系數的和時注意賦值法的應用。

　　4. ⑴二項式定理：.

　　展開式具有以下特點：

　　① 項數：共有項;

　　② 系數：依次為組合數

　　③ 每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.

　　⑵二項展開式的通項.

　　展開式中的第項為：.

　　⑶二項式系數的性質.

　　①在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等;

　　②二項展開式的中間項二項式系數最大.

　　I. 當n是偶數時，中間項是第項，它的二項式系數最大;

　　II. 當n是奇數時，中間項為兩項，即第項和第項，它們的二項式系數最大.

　　③系數和：

　　附：一般來說為常數)在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求解. 當時，一般采用解不等式組的系數或系數的絕對值)的辦法來求解.

　　⑷如何來求展開式中含的系數呢?其中且把視為二項式，先找出含有的項，另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數為.

　　5. 近似計算的處理方法.

　　當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，可以忽

【高考數列求和的基本方法和技巧】相關文章：

數列求和的最簡單實用的方法和技巧11-27