高二數學平面向量的性質及定理
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平面向量
考試內容：向量.向量的加法與減法.實數與向量的積.平面向量的坐標表示.線段的定比分點.平面向量的數量積.平面兩點間的距離、平移.
考試要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.(5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公式.
平面向量知識要點
1.本章知識網絡結構
?
2.向量的概念?
(1)向量的基本要素：大小和方向.?(2)向量的表示：幾何表示法
;字母表示：a;
坐標表示法 a=xi+yj=(x，y).?
(3)向量的長度：即向量的大小，記作|a|.?
(4)特殊的向量：零向量a=O
|a|=O.?單位向量aO為單位向量
|aO|=1.? (5)相等的向量：大小相等，方向相同?(x1，y1)=(x2，y2)
(6) 相反向量：a=-b
b=-a
a+b=0
(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的.向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.?
3.向量的運算?
| 運算類型 | 幾何方法 | 坐標方法 | 運算性質 |
|
向量的
加法 |
1.平行四邊形法則
2.三角形法則 |
|
|
|
向量的
減法 |
三角形法則 |
, |
|
|
數
乘 向 量 |
1.是一個向量,滿足:
2.>0時,同向; <0時,異向; =0時,. |
|
|
|
向
量 的 數 量 積 |
是一個數
1.時， . 2. |
|
4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理?
e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數λ1，
λ2，使a=λ1e1+λ2e2.?
(2)兩個向量平行的充要條件?
a∥b
a=λb(b≠0)
x1y2-x2y1=O.?
(3)兩個向量垂直的充要條件?
a⊥b
a·b=O
x1x2+y1y2=O.?
(4)線段的定比分點公式?
設點P分有向線段
所成的比為λ，即
=λ
，則?
=
+
(線段的定比分點的向量公式)?
(線段定比分點的坐標公式)?
當λ=1時，得中點公式：?
=
(
+
)或
(5)平移公式
設點P(x，y)按向量a=(h，k)平移后得到點P′(x′，y′)，
則
=
+a或
曲線y=f(x)按向量a=(h，k)平移后所得的曲線的函數解析式為：
y-k=f(x-h)
(6)正、余弦定理?
正弦定理：
余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，?
b2=c2+a2-2cacosB，?
c2=a2+b2-2abcosC.?
(7)三角形面積計算公式：
設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內切圓的半徑為R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=
[海倫公式]
⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下圖]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb
[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.
如圖：
圖1中的I為S△ABC的內心， S△=Pr
圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2(b+c-a)ra
附：三角形的五個“心”;
重心：三角形三條中線交點.
外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.
內心：三角形三內角的平分線相交于一點.
垂心：三角形三邊上的高相交于一點.
旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.
⑸已知⊙O是△ABC的內切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長,即
] 則：①AE=
=1/2(b+c-a) ②BN=
=1/2(a+c-b) ③FC=
=1/2(a+b-c)
綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊(如圖4).
特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內切圓半徑r=
(如圖3). ⑹在△ABC中，有下列等式成立
. 證明：因為
所以
，所以
，
結論! ⑺在△ABC中，D是BC上任意一點，則
. 證明：在△ABCD中，由余弦定理，有
① 在△ABC中，由余弦定理有
②，②代入①，化簡
可得，
(斯德瓦定理) ①若AD是BC上的中線，
; ②若AD是∠A的平分線，
，其中
為半周長; ③若AD是BC上的高，
，其中
為半周長.
⑻△ABC的判定：
△ABC為直角△
∠A + ∠B =
<
△ABC為鈍角△
∠A + ∠B<
>
△ABC為銳角△
∠A + ∠B>
附：證明：
，得在鈍角△ABC中，
⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.
定比分點
定比分點公式(向量P1P=λ•向量PP2)
設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ，使 向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)
我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a•b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
設a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a;
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0
AB-AC=CB. 即“共同起點，指向被減”
a=(x,y) b=(x',y') 則 a-b=(x-x',y-y').
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
當λ>0時，λa與a同方向;
當λ<0時，λa與a反方向;
當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;
當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量對于數的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.
數對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.
數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量，記作a•b。若a、b不共線，則a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉;若a、b共線，則a•b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的坐標表示：a•b=x•x'+y•y'。
向量的數量積的運算律
a•b=b•a(交換律);
(λa)•b=λ(a•b)(關于數乘法的結合律);
(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);
向量的數量積的性質
a•a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a•b=0。
|a•b|≤|a|•|b|。
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a•b=a•c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
6.向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號;
② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號;
② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
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