高考數學常考題型：排列組合題
導語：搞科學研究，不能使用‘大概’、‘也許’這些字眼，也不能用估計和推斷代替觀察下面是小編為大家整理的：數學知識點。希望對大家有所幫助,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關的知識，請關注CNFLA學習網!
排列組合二項定理
考試內容：
分類計數原理與分步計數原理.
排列.排列數公式.
組合.組合數公式.組合數的兩個性質.
二項式定理.二項展開式的性質.
考試要求：(1)掌握分類計數原理與分步計數原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題.(2)理解排列的意義，掌握排列數計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題.(3)理解組合的意義，掌握組合數計算公式和組合數的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題.(4)掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.
排列組合二項定理知識要點
一、兩個原理.
1. 乘法原理、加法原理.
2. 可以有重復元素的排列.
從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重復出現，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二……第n位上選取元素的方法都是m個，所以從m個不同元素中，每次取出n個元素可重復排列數m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法? (解：
種)
3.計數原理知識點
①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分類)
二、排列.
1. ⑴對排列定義的理解.
定義：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
⑵相同排列.
如果;兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.
⑶排列數.
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素排成一列，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的一個排列數，用符號
表示.
(4)排列(有序)與組合(無序)
Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!
Cnm = n!/(n-m)!m!
Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k•k!=(k+1)!-k!
(5)排列數公式：
注意：
規定0! = 1
規定
2. 含有可重元素的排列問題.
對含有相同元素求排列個數的方法是：設重集S有k個不同元素a1，a2,…...an其中限重復數為n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個數等于
. 例如：已知數字3、2、2，求其排列個數
又例如：數字5、5、5、求其排列個數?其排列個數
.
三、組合.
1. ⑴組合：從n個不同的元素中任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
⑵組合數公式：
⑶兩個公式：①
②
①從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.
(或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有
一類是不含紅球的選法有
) ②根據組合定義與加法原理得;在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C
，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C
種，依分類原理有
.
⑷排列與組合的聯系與區別.
聯系：都是從n個不同元素中取出m個元素.
區別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關系，后者無順序關系.
⑸①幾個常用組合數公式
②常用的證明組合等式方法例.
i. 裂項求和法. 如：
(利用
)
ii. 導數法. iii. 數學歸納法. iv. 倒序求和法.
v. 遞推法(即用
遞推)如：
. vi. 構造二項式. 如：
證明：這里構造二項式
其中
的系數，左邊為
，而右邊
四、排列、組合綜合.
1. I. 排列、組合問題幾大解題方法及題型：
①直接法. ②排除法.
③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”，例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某
個元素必相鄰的排列有
個.其中
是一個“整體排列”，而
則是“局部排列”. 又例如①有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，則有排列法種數為
. ②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有
. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有
. 注：①③區別在于①是確定的座位，有
種;而③的商品地位相同，是從n件不同商品任取的2個，有不確定性.
④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.
例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數為多少?
(插空法)，當n – m+1≥m, 即m≤
時有意義.
⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然后再排其他一般元素;從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.
⑥調序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有
種，
個元素的全排列有
種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有
種排列方法.
例如：n個元素全排列，其中m個元素順序不變，共有多少種不同的排法?
解法一：(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二：(比例分配法)
. ⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有
. 例如：從1，2，3，4中任取2個元素將其平均分成2組有幾種分法?有
(平均分組就用不著管組與組之間的順序問題了)又例如將200名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是多少? (
) 注意：分組與插空綜合. 例如：n個元素全排列，其中某m個元素互不相鄰且順序不變，共有多少種排法?有
，當n – m+1 ≥m, 即m≤
時有意義.
⑧隔板法：常用于解正整數解組數的問題.
例如：
的正整數解的組數就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數目依次為
顯然
，故(
)是方程的一組解.反之，方程的任何一組解
，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式(如圖所示)故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數等于插隔板的方法數
. 注意：若為非負數解的x個數，即用
中
等于
，有
，進而轉化為求a的正整數解的個數為
. ⑨定位問題：從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列規定某r個元素都包含在內，并且都排在某r個指定位置則有
.
例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在(或不固定在)某一位置上，共有多少種排法?
固定在某一位置上：
;不在某一位置上：
或
(一類是不取出特殊元素a，有
，一類是取特殊元素a，有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的)
⑩指定元素排列組合問題.
i. 從n個不同元素中每次取出k個不同的元素作排列(或組合)，規定某r個元素都包含在內 。先C后A策略，排列
;組合
. ii. 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列(或組合)，規定某r個元素都不包含在內。先C后A策略，排列
;組合
. iii 從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列(或組合)，規定每個排列(或組合)都只包含某r個元素中的s個元素。先C后A策略，排列
;組合
.
II. 排列組合常見解題策略：
①特殊元素優先安排策略;②合理分類與準確分步策略;③排列、組合混合問題先選后排的策略(處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列);④正難則反，等價轉化策略;⑤相鄰問題插空處理策略;
⑥不相鄰問題插空處理策略;⑦定序問題除法處理策略;⑧分排問題直排處理的策略;⑨“小集團”排列問題中先整體后局部的策略;⑩構造模型的策略.
2.排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排
排列組合題的主要解題方法：優先法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.
捆綁法(集團元素法，把某些必須在一起的元素視為一個整體考慮)
插空法(解決相間問題) 間接法和去雜法等等
在求解排列與組合應用問題時，應注意：
(1)把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題;
(2)通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理;
(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏;
(4)列出式子計算和作答.
經常運用的數學思想是：
①分類討論思想;②轉化思想;③對稱思想.
3. 組合問題中分組問題和分配問題.
①均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，假定其中r組元素個數相等，不管是否分盡，其分法種數為
(其中A為非均勻不編號分組中分法數).如果再有K組均勻分組應再除以
. 例：10人分成三組，各組元素個數為2、4、4，其分法種數為
.若分成六組，各組人數分別為1、1、2、2、2、2，其分法種數為
②非均勻編號分組: n個不同元素分組，各組元素數目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數為
例：10人分成三組，各組人數分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：
種. 若從10人中選9人分成三組，人數分別為2、3、4，參加不同的勞動，則安排方法有
種 ③均勻編號分組：n個不同元素分成m組，其中r組元素個數相同且考慮各組間的順序，其分法種數為
. 例：10人分成三組，人數分別為2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數為
④非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數目均不相同，且不考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種數為
…
例：10人分成三組，每組人數分別為2、3、5，其分法種數為
若從10人中選出6人分成三組，各組人數分別為1、2、3，其分法種數為
.
五、二項式定理.
1.二項式定理知識點：
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn
特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②主要性質和主要結論：對稱性Cnm=Cnn-m
最大二項式系數在中間。(要注意n為奇數還是偶數，答案是中間一項還是中間兩項)
所有二項式系數的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇數項二項式系數的和=偶數項而是系數的和
Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1
③通項為第r+1項： Tr+1= Cnran-rbr 作用：處理與指定項、特定項、常數項、有理項等有關問題。
2.二項式定理的應用：
解決有關近似計算、整除問題，運用二項展開式定理并且結合放縮法證明與指數有關的不等式。
3.注意二項式系數與項的系數(字母項的系數，指定項的系數等，指運算結果的系數)的區別，在求某幾項的系數的和時注意賦值法的應用。
4. ⑴二項式定理：
.
展開式具有以下特點：
① 項數：共有
項; ② 系數：依次為組合數
③ 每一項的次數是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開.
⑵二項展開式的通項.
展開式中的第
項為：
.
⑶二項式系數的性質.
①在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等;
②二項展開式的中間項二項式系數最大.
I. 當n是偶數時，中間項是第
項，它的二項式系數
最大; II. 當n是奇數時，中間項為兩項，即第
項和第
項，它們的二項式系數
最大.
③系數和：
附：一般來說
為常數)在求系數最大的項或最小的項時均可直接根據性質二求解. 當
時，一般采用解不等式組
的系數或系數的絕對值)的辦法來求解. ⑷如何來求
展開式中含
的系數呢?其中
且
把
視為二項式，先找出含有
的項
，另一方面在
中含有
的項為
，故在
中含
的項為
.其系數為
.
5. 近似計算的處理方法.
當a的絕對值與1相比很小且n不大時，常用近似公式
，因為這時展開式的后面部分
很小，可以忽略不計。類似地，有
但使用這兩個公式時應注意a的條件，以及對計算精確度的要求.
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