六年級奧數(shù)常考題：排列組合練習(xí)題
導(dǎo)語：知之者不如好之者，好之者不如樂之者。下面是小編為大家整理的，小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)練習(xí)題。希望對大家有所幫助,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關(guān)的知識，請關(guān)注CNFLA學(xué)習(xí)網(wǎng)!
小學(xué)奧數(shù)練習(xí)題【例一】
解排列組合問題,首先要弄清一件事是"分類"還是"分步"完成,對于元素之間的關(guān)系,還要考慮"是有序"的還是"無序的",也就是會正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,排列定義和組合定義,其次,對一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題,需掌握以下幾種常用的解題方法:
特殊優(yōu)先法對于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題,我們可以從這些特殊的東西入手,先解決特殊元素或特殊位置,再去解決其它元素或位置,這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如:用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)共有________個(gè).(答案:30個(gè))
科學(xué)分類法對于較復(fù)雜的排列組合問題,由于情況繁多,因此要對各種不同情況,進(jìn)行科學(xué)分類,以便有條不紊地進(jìn)行解答,避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例如:從6臺原裝計(jì)算機(jī)和5臺組裝計(jì)算機(jī)中任取5臺,其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺,則不同的選取法有_______種.(答案:350)
插空法解決一些不相鄰問題時(shí),可以先排一些元素然后插入其余元素,使問題得以解決例如:7人站成一行,如果甲乙兩人不相鄰,則不同排法種數(shù)是______.(答案:3600)
捆綁法相鄰元素的排列,可以采用"整體到局部"的排法,即將相鄰的元素當(dāng)成"一個(gè)"元素進(jìn)行排列,然后再局部排列例如:6名同學(xué)坐成一排,其中甲,乙必須坐在一起的不同坐法是________種.(答案:240)
排除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法.
b,排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù),三角,立體幾何,平面解析幾何的某些知識聯(lián)系,從而增加了問題的綜合性,解答這類應(yīng)用題時(shí),要注意使用相關(guān)知識對答案進(jìn)行取舍.例如:從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A,B,C,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條.(答案:30)
小學(xué)奧數(shù)練習(xí)題【例二】
問題：小明所在的班級要選出4名中隊(duì)長，要求每位同學(xué)在選票上寫上名字，也可以寫自己的名字。 結(jié)果全班的每位同學(xué)都在自己的選票上寫了4個(gè)互不相同的名字。當(dāng)小明把同學(xué)們的選票收集后發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：就是任意取出2張選票，一定有且只有一個(gè)人的名字同時(shí)出現(xiàn)在2張選票上。 請問：小明所在的班級共有多少人?
總體邏輯思路：首先，假設(shè)題目所說的情況存在。然后，得出班級人數(shù)。最后，構(gòu)造出一個(gè)例子，說明確實(shí)存在這種情況。
我們先來證明這個(gè)班每個(gè)人都恰好都被選了4次。
思路簡介：我們首先用反證法證明沒有人被選了4次以上。由于平均每人被選了4次，既然沒有人被選了4次以上，肯定也不存在被選了4次以下的人。所以，可以得到每個(gè)人恰好被選了4次。
首先證明沒有人被選了4次以上，我們用反證法。
假設(shè)有一個(gè)人被選了4次以上(由于很容易證明這個(gè)班的人數(shù)肯定不少于7人，所以我們可以假設(shè)有一個(gè)人被選了4次以上)，我們設(shè)這個(gè)人為A同學(xué)。接下來我們來證明這種情況不存在。
把所有選擇A同學(xué)的選票集中到一起，有5張或5張以上。方便起見，我們把這些選票編號，記為A1選票，A2選票，A3選票，A4選票，A5選票，…。意思就是選擇A同學(xué)的第1張選票，選擇A同學(xué)的第2張選票，…。
這些選票都選擇了A同學(xué)。由于任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，所以這些選票上除了A同學(xué)外，其他都是不同的人。
我們還可以證明，這些并不是全部的選票，不是太難，就不證明了。
既然這些(所有選A同學(xué)的選票)不是全部的選票，我們再拿一張沒有選擇A同學(xué)的選票。方便起見，稱之為B選票。
根據(jù)任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，A1選票上必有一個(gè)人和B選票上的一個(gè)人是相同的，而且這個(gè)人不是A同學(xué)。
同樣道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一個(gè)人和B選票上的一個(gè)人是相同的，而且這個(gè)人不是A同學(xué)。
由于B選票上只有4個(gè)不同的人，而A1、A2、…，的數(shù)量大于4.所以，A1、A2、A3、…選票中至少有2張選票，除了A同學(xué)外還有一個(gè)共同的候選人。根據(jù)任意2張選票有且只有1個(gè)人相同，我們知道這是不可以的。
所以，沒有人被選了4次以上。
由于平均每人被選4次，既然沒有人被選4次以上，當(dāng)然也就不可能有人被選4次以下。
所以，每個(gè)人恰好被選了4次!
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證明了每個(gè)人都恰好被選了4次后，下面我們用兩種方法來求出班級的人數(shù)。
方法一：解方程設(shè)這一班有n個(gè)人，從n張選票里面任選2張有C(n，2)=n(n-1)/2種情況。
由于任意2張選票都有且只有1個(gè)人相同，所以每一種情況都代表了一種2張選票重復(fù)選擇了同一個(gè)人的情況。(這句話不太好理解，暫時(shí)沒有想到好的表述)
每一個(gè)人都被選了4次，則2張選票重復(fù)選擇了同一個(gè)人的'情況又等于nC(4，2)=6n
所以n(n-1)/2=6n解得n=13.
方法二：分析論證，計(jì)算我們從所有選票中拿出一張，這張選票上有四個(gè)人，方便起見記為甲、乙、丙、丁四個(gè)人。
除了我們拿出的這張選票外，所有選甲的選票組成集合[甲].所有選乙的選票組成集合[乙].所有選丙的選票組成集合[丙].所有選丁的選票組成集合[丁].
由于每個(gè)人都恰好被選了4次，所以[甲]、[乙]、[丙]、[丁]四個(gè)集合中都有3個(gè)元素。而且這四個(gè)集合沒有交集。
每個(gè)集合有3張選票，再加上我們拿出的這張選票，一共有4×3+1=13張選票，即13個(gè)人。
下面我們證明選票數(shù)不能多于13張。還是用反證法。
假設(shè)選票數(shù)多于13張，我們從中取14張。從這14張選票中我們拿出一張稱為C選票。除了C選票外還有13張選票，C選票上有4個(gè)不同的人，這13張選票中的每一張都有一個(gè)人和C選票上的一個(gè)人是相同的。這樣13張選票中至少有4張選擇了C選票上的同一個(gè)人，這樣再加上C選票，就有5個(gè)人選擇了同一個(gè)人。
根據(jù)前面的結(jié)論，沒有人被選了4次以上，所以選票數(shù)不能多于13張。而且只能是13張。
所以只有13張選票，即只有13個(gè)人。
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下面說明這種情況確實(shí)存在。
給出一種投票結(jié)果即可。
(1，2，3，4)
(1，5，6，7)
(1，8，9，10)
(1，11，12，13)
(2，5，8，11)
(2，6，9，12)
(2，7，10，13)
(3，5，9，13)
(3，6，10，11)
(3，7，8，12)
(4，5，10，12)
(4，6，8，13)
(4，7，9，11)
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方法三：網(wǎng)上搜到得一種方法，設(shè)班級有x個(gè)人，那么x張票中總共有4x(有重復(fù))個(gè)名字，也就是說班級里每個(gè)人的名字平均出現(xiàn)4次，(1) 如果有一個(gè)人的名字在所有票中都出現(xiàn)，那么x張票應(yīng)該有不重復(fù)的名字3x+1個(gè)，這與班級有x個(gè)人矛盾，(2)如果一個(gè)人的名字在5張票中都出現(xiàn)過，那么假設(shè)為(1，2，3，4)(1，5，6，7)(1，8，9，10)(1，11，12，13)(1，14，15，16)那么你無法構(gòu)造一個(gè)不包含1，但與前面5張票都有一個(gè)同名的票，所以一個(gè)人的名字在所有票中最多出現(xiàn)4次，并且每個(gè)人的名字在所有票中平均出現(xiàn)4次，那也就是說每個(gè)人的名字在所有票中出現(xiàn)4次假設(shè)包含1的票為(1，2，3，4)(1，5，6，7)(1，8，9，10)(1，11，12，13)其中2出現(xiàn)了1次，之后構(gòu)造其他包含名字2的3張票為(2，5，8，11)(2，6，9，12)(2，7，10，13)
之后構(gòu)造分別包含名字3，4的各3張票。發(fā)現(xiàn)符合題意，所以這個(gè)班有13人。
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