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    高二數學知識點:斜率的定義

    時間:2024-09-30 09:29:03 林強 高中數學

    高二數學知識點:斜率的定義

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    高二數學知識點:斜率的定義

      定義

      斜率亦稱“角系數”,表示在平面直角坐標系中一條直線對橫坐標軸的傾斜程度的量。

      直線對x軸的傾斜角α的正切值tanα稱為該直線的“斜率”,并記作k,公式為k=tanα。規定平行于x軸的直線的斜率為零,平行于y軸的直線的斜率不存在。對于過兩個已知點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直線,若x1≠x2,則該直線的斜率為 k=(y1-y2)/(x1-x2)。

      

      課標

      在義務教育階段,學生學習了一次函數,它的幾何意義表示為一條直線,一次項的系數就是直線的斜率,只不過當直線與x軸垂直的時候無法表示。雖然沒有明確給出斜率這個名詞,但實際上思想已經滲透到其中。

      在高中階段對必修一以及必修二當中都討論了有關直線問題,選修一還有選修二也都提到了與直線相關的一些問題。上述列舉的內容,實際上都涉及到了斜率的概念,因此可以說斜率這個概念是學生逐漸積淀下來的一個重要的數學概念之一。

      斜率是中學數學的重要知識點,對于任意分數y/x,都可以看成點P(x,y)與原點O(0,0)連線的斜率,同時涉及到初中數學的坡度i=tanθ=y/x和一次函數y=kx+b中的待定系數k,而高中數學中的直線、等差數列、導數等方面的知識更與斜率密切相關,斜率既是代數問題,同時又有它的幾何意義,體現了數形結合的數學思想。

      數學

      首先就是從實際意義看,斜率就是坡度,是高度的平均變化率,用坡度來刻劃道路的傾斜程度,也就是用坡面的切直高度和水平長度的比,相當于在水平方向移動一千米,在切直方向上升或下降的數值,這個比值實際上就表示了坡度的大小。

      其次,從傾斜角的正切值來看;還有就是從向量看,是直線向上方向的向量與x軸方向上的單位向量的夾角;最后是從導數這個視角來再次認識斜率的概念,這里實際上就是直線縱坐標隨橫坐標的瞬時變化率。認識斜率概念不僅僅是對今后的學習起著很重要的作用,而且對今后學習的一些數學的重要的解題的方法,也是非常有幫助的。

      教材

      從大綱來看,教材在處理直線的斜率這一部分知識的時候,首先講直線的傾斜角,然后再講直線的斜率,之后再來引入經過直線上的兩點的斜率公式的推導;從新課程標準來看,可以看到人教版A版的教材是先講直線的傾斜角,然后再講直線的斜率,只不過在處理上,是以問題的提出的形式來說。

      物理學

      高中物理課需要利用平均速度、瞬時速度、加速度等物理量與時間(或者其他物理量)的圖像對物理現象和物理過程進行分析、求解與推算。

      通過圖像與坐標對規律、趨勢進行定量研究,在大學的理科、工科、商科也被廣泛使用。

      推導、理解公式

      斜率可以幫助人們更好地推導、理解公式以及其他各個方面。

      知識點

      (1)顧名思義,“斜率”就是“傾斜的程度”。過去我們在學習解直角三角形時,都科書上就說過:斜坡坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比值i叫做坡度;如果把坡面與水平面的夾角α叫做坡度,那么;坡度越大<=>α角越大<=>坡面越陡,所以i=tgα可以反映坡面傾斜的程度。現在我們學習的斜率k,等于所對應的直線(有無數條,它們彼此平行)的傾斜角(只有一個)α的正切,可以反映這樣的直線對于x軸傾斜的程度。實際上,“斜率”的概念與工程問題中的“坡度”是一致的。

      (2)解析幾何中,要通過點的坐標和直線方程來研究直線通過坐標計算求得,使方程形式上較為簡單。如果只用傾斜角一個概念,那么它在實際上相當于反正切函數值arctgk,難于直接通過坐標計算求得,并使方程形式變得復雜。

      (3)坐標平面內,每一條直線都有唯一的傾斜角,但不是每一條直線都有斜率,傾斜角是90°的直線(即x軸的垂線)沒有斜率。在今后的學習中,經常要對直線是否有斜率分情況進行討論。

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