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    也談函數概念的教學設計

    時間:2021-03-07 09:29:12 教學設計

    也談函數概念的教學設計

      在函數概念的教學中常有學生問到:為什么要規定一對多的對應不屬于函數的對應關系呢?

    也談函數概念的教學設計

      海克爾(E。Haeckel,1843—1919)生物發生學定律告訴我們“個體認知的發生遵循人類認知發展的過程”,就數學教育而言,個體數學理解的發展遵循數學思想的歷史發展順序。數學家和數學教育家也認為個體數學理解的發展遵循數學思想的歷史發展,個體對數學概念的認知發展過程與該概念的歷史發展過程相似。

      那么我們就先從歷史的長河中來尋找答案吧,看看函數的概念是如何發展的。

      從函數概念的歷史發展過程中,我們基本上可以知道以下幾個事實:

      初中數學的函數定義基本上就是十九世紀最杰出的法國數學家柯西在1821年所著的《解析教程》中,給出的定義:“在某些變量間存在著一定的關系,當一經給定其中某一變量的值,其他變量的值也隨之確定,則將最初的變量稱為自變量,其他各個變量稱為函數”。

      《北師大版義務教育課程標準實驗教科書》八年級上冊是這樣給函數定義的:一般地,在某個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值,那么我們就稱y是x的函數,其中x是自變量,y是因變量。

      《人教版義務教育課程標準實驗教科書》八年級上冊是這樣給函數定義的:一般地,在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那么我們就說x是自變量,y是x的函數。

      兩者相比較。不難發現在人教版初中教科書中出現“唯一確定”的概念。而北師大版的教材中則沒有提出。

      高中數學的函數定義基本上是維布倫1930給出的'近代函數定義:“設集合X、Y,如果X中每一個元素x都有Y中唯一確定的元素y與之對應,那么我們就把此對應叫做從集合X到集合Y的映射,記作f:X→Y,或y=f(x)”。映射的特殊情況,從數集到數集的映射就是狄利克雷的函數定義;在這個定義中出現了“唯一確定”這一限制性詞語。

      北師大版高中數學必修一第二章《函數》定義:給定兩個非空數集A和B,如果按照某個對應關系f,對于A中的任何一數x在集合B中都有唯一確定的數f(x)與之對應,那么就把這個對應f叫做從A到B的一個函數。通常記作:f:A→B或y=f(x)x∈A。其中,x叫做自變量,y叫做函數值。

      人教版新課A版必修1第一章《集合與函數概念》中是這樣給函數定義的:設A、B是非空的數集,如果按某個確定的對應關系,使對于集合A中的任意一個數,在集合B中都有唯一確定的數和它對應,那么就稱:A→B為從集合A到集合B的一個函數(function),記作=,.其中,x叫自變量,x的取值范圍A叫作定義域(domain),與x的值對應的y值叫函數值,函數值的集合叫值域(range)。

      在多值函數是函數的概念下,多值函數也是需要分拆成若干個單值函數再進行研究的;在函數都是單值函數的概念下,方程確定的隱函數也仍然會遇到多值的情形,還是需要分拆成單值的情形來研究。多值函數或者單值函數這種定義的改變,并沒有改變數學問題的實質,只是給數學的初學者帶來困惑而已。

      我認為在初中函數概念的教學中,北師大版教材的處理更為合理的,不出現“唯一確定”這樣的概念,更有利于學生理解。其理由如下,第一、歷史上函數概念的初期,也沒有“唯一確定”這樣的概念,對初中生講“唯一確定”這個問題,不符合初中生的認知規律。

      第二、在函數概念的教學中,規定“一對多”對應的不屬于函數的對應,有些類似在二次根式中規定被開方數大于等于零,事實上二者卻有很的不同。如果在二次根式中不做“被開方數不能是負數”這樣的規定,那么就要回答:什么樣的數的平方是負數?等于多少?這樣一系列的問題。為了降低難度,我們暫時不去研究這種情況,因此我們規定“二次根式中被開方數不能是負數”。而在函數概念的教學中是為了什么原因做出“一對多”不是函數的規定呢?這樣的規定有利于學生理解函數的概念嗎?我看恰好相反,有了這個規定學生反而更糊涂了。至于人教版初中教科書中的那兩道習題更是有欠考慮了,要做出這兩道題無非是讓學生死背定義,而這個“唯一確定”的規定并不涉及數學的本質,就是把定義背下來,他又能記住多久呢?教材這樣的處理人為地增加了學習的難度。

      第三、是否“唯一確定”,并不是數學的本質問題。在早些年出版的教材里,函數的定義里沒有“唯一”兩個字,因此函數就有單值函數與多值函數的區分,按那種定義,“一對一”、“多對一”“一對多”的對應都屬于函數的對應關系。近年出版的教材里,函數的定義里有“唯一”兩字,因此函數都是單值的,從這個意義上說,“一對多”的對應關系就不屬于函數的對應關系了。

      結論:在初中函數概念的教學中,最好是不要出現“唯一確定”的概念,不要人為地增加初中生學習數學的難度。

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