高中數學必修四2.3教案
一、教材分析
1．教學內容：《高中數學必修4》中第二章 “向量數乘運算及其幾何意義”這一節，在新課標中主要內容有三方面：①向量數乘運算及其幾何意義的含義；②數乘運算的運算律；③平面向量共線定理。
2．地位與作用：向量數乘運算是學習向量其他運算以及空間向量的基礎，也是解決平面解幾、立幾、三角、復數的重要工具。因此，本節課的教學活動將對后續課程起著橋梁作用。教材通過復習引入新課，并通過三個探究活動，完成本節課的教學活動。
二、三維目標
根據新課標要求并結合學生具體實際，設計以下三維目標：
1．知識與技能
⑴掌握向量數乘運算及其幾何意義，數乘運算的運算律，并能熟練運用定義、運算律進行簡單的計算。
⑵理解向量共線定理及其推導過程，會應用向量共線定理判斷或證明兩個向量共線、三點共線及兩直線平行等簡單問題。
2．過程與方法
通過對兩個向量共線充要條件的探究與推導，讓學生對平面向量共線定理有更深刻的理解。為了幫助學生消化和鞏固相應的知識，本節課設置了三個例題及其變式引申；指導學生探究發現，并得出結論，培養學生自主探究能力和創新思維能力 。
3．情感、態度與價值觀
通過向量數乘運算的學習和探究，有助于激發學生學習興趣和積極性，還有助于培養類比、分析、歸納、抽象思維能力以及邏輯推理能力。
三、重點、難點與疑點
1．重點：向量數乘運算的幾何意義、運算律，向量共線定理；
〖解決辦法〗為了突出重點，讓學生在創設問題鏈的驅動下合作探究，得出結論，發展學生的認知結構。
2．難點與疑點：向量共線定理的探究過程及其應用。
〖解決辦法〗為了突破難點與疑點，按照學生的認知規律、由淺入深地變式討論，達到全面理解。
四、學情分析與對策
學生已明確向量是有大小和方向的量，且已學過向量的加、減法，對于這種有方向的量能否與實數進行乘法運算有些疑問，且“相乘后方向如何判斷呢？”：這也就是本節課知識產生的背景。通過熟知的實數乘法作類比，探究向量數乘的含義，讓學生在此過程中，體驗數學知識的產生、發展、成熟和應用的過程。讓學生懂得學習，熱愛學習。
五、設計理念
高中新課程改革實驗的核心是轉變教師的教學方式與學生的學習方式。而課堂教學的有效性及自主探究學習則是教與學普遍關心的問題。
基于這一層面的考慮，本節課采用“探究----研討”教學法。第一、“探究”。創設問題情境，將有關材料有層次地展示給學生，讓學生自主探究它。學生通過對這些“結構化”的材料進行探究，獲得對向量數乘的感性認識。 第二、“研討”。在形成感性認識的基礎上，組織學生進一步研討，教師可以跟學生一起分析、交流、補充、完善，使學生對向量數乘的含義從感性的認識上升到理性認識，獲得一定層次的科學概念。
除此之外，本節課從教材的實際出發，通過類比、探究、精講、引申等系統地講授知識，提高學生主動參與、自主學習的能力，培養學生的數學素養；從學生的認知規律出發，通過不斷地創設問題情境，啟發學生由淺入深地探究，從而得出規律性的結論；進一步提高課堂教學的有效性，讓學生真正學會學習。
六、教學程序設計
1．創設問題，引入新課
（1）如何求作兩個非零向量的和向量、差向量？
（2）相同的幾個數相加可以轉化為數乘運算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3.那么相等的幾個向量相加是否也能轉化為數乘運算呢？這就是本節課要探究的問題。
[設計意圖]創設問題，讓學生在原有概念的基礎上，通過設問、類比等方法提出向量數乘運算及其幾何意義的概念，讓學生理解向量數乘運算知識產生的背景。
2．探究一：向量的數乘運算及其幾何意義
問題1：已知非零向量 ，如何求作向量 + + 和（- ）+（- ）？是向量嗎？ 向量3a和－2a與向量a的大小和方向有什么關系？
[設計意圖]利用和向量的求法，讓學生先對兩個特殊向量的分析、而后引導學生推導出一般性結論，為理解平面向量共線定理埋下伏筆。
結論：一般地，實數λ與向量a（a≠0）的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘.記作λa，該向量的長度、方向與向量a有什么關系？
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）當λ>0時，λa與a方向相同；
當λ<0時，λa與a方向相反；
當λ=0時，λa =0（向量還是實數？）.
3．探究二：向量的數乘運算性質
問題2：你認為－2×（5a），2a＋2b，（3＋ ）a可分別轉化為什么運算？
-2×（5a）= -10a；2a＋2b=2（a+b）；（3＋ ）a =3a＋ a。
問題3：一般地，設λ，μ為實數，則λ（μa），（λ＋μ） a，λ（a＋b）分別等于什么？
λ（μa）=（λμ） a ；（λ＋μ） a =λa ＋μa； λ（a＋ b）=λa＋λb.
結論：（1）向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算。
（2）對于任意向量a、b，以及任意實數λ、x、y，λ（xa±yb）可轉化為什么運算？λ（xa±yb）=λxa±λyb
[設計意圖] 提出設問：以前一學到運算時，一般離不開運算律。既然向量數乘運算是一種運算，那么是否有運算律呢？接著引導學生類比實數的運算律，得出向量數乘運算律，培養學生的類比、遷移和歸納能力。
例1 計算：
（1）（－3）×4a；（2）3（a＋b）－2（a－b）－a； 4．探究三：平面向量共線定理
[學情預設] 若直接討論共線的充要條件，會顯得難度較大，為此創設問題4與問題5，以求降低學習難度。
問題4：對于向量a（a≠0）和b，若存在實數λ，使b=λa，則向量a與b的方向有什么關系？
共線向量（平行向量）
當λ>0時，λa與a方向相同；
當λ<0時，λa與a方向相反；
當λ=0時，λa =0.
問題5：若向量a（a≠0）與b共線，則一定存在實數λ，使b=λa成立嗎？
[設計意圖]討論平面向量共線定理的“充分性”與“必要性”為接下來的“概括、整合”作準備；同時讓學生感受到成功的喜悅與數學的“和諧之美”。
結論：[平面向量共線定理]向量a（a≠0）與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使b=λa.（當a＝0時，上述定理成立嗎？）
[學情預設]因為課本在講解共線時，先討論a≠0時的情形，而后規定零向量與任意向量共線，因此，這里的預設與生成應當是很自然的，但老師要預見到可能出現的情況如學生提問當a＝0時的情形。
[設計意圖] 補充說明當a＝0時的情形，激發學生進一步探究所得結論的嚴密性。
變式引申1：若存在實數λ，使 則A、B、C三點共線。
例2 如圖，已知任意兩個非零向量a，b，試作 =a＋b， =a＋2b， =a＋3b。
你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？
A，B，C共線 o
[學情預設]學生看到這個題目也許思維發散，不知道如何判斷A、B、C三點之間的位置關系，這樣就無法達到老師的預設與生成的目的，這時教師要引導學生思考，讓學生從廣闊的想象空間中回到預設的方向上來。此外教師還可用多媒體動畫顯示三點位置關系，使學生的'思維匯集于三點共線問題上。
[設計意圖] 設計這個題目的目的是，①讓學生在猜想的基礎上加以驗證，減少證明難度；②強調用定理可以證明三點共線問題。
例3 如圖，四邊形ABCD滿足 = ，試判斷四邊形ABCD的形狀。
變式引申2： 若四邊形ABCD滿足 =2 ，試判斷四邊形ABCD的形狀。
變式引申3：若平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點M， =a， =b，試用a，b表示向量 、 。
[設計意圖]由淺入深、多層次地變式條件，使學生加深對平面向量共線定理在證明平幾中兩直線平行的運用。
5．課堂變式訓練與講解
（1） 課本 p90： 4.
（2） [高考鏈接]在⊿ABC中， = ， = ；若點D滿足 =2 ，則 =（ ）
（3）如圖，已知圓o內的兩弦AB，CD垂直相于P點，求證：
[設計意圖]按一定梯度，分層設置了3道課堂變式訓練。第（1）題主要考查向量數乘運算、向量共線定理的簡單運用，第（2）題主要考查向量共線定理在平面幾何中的運用， 第（3）題主要考查學生對向量數乘運算及向量共線定理的合作探究能力，培養學生空間想象能力與創新思維能力。
6．總結回顧（課標要求）
（1）掌握：λ 的定義及其運算律；
（2）理解：向量共線定理 （ ≠0）
= 向量 與 共線；
（3）理解： 向量共線定理的應用
Ⅰ. 證明 向量共線；
Ⅱ. 證明 三點共線： =λ A，B，C三點共線；
Ⅲ. 證明 兩直線平行
=λ ‖ AB‖CD。
AB與CD不在同一直線上
7．布置作業 課本 P91 ： 10； P92： 5
七、教學效果預測
本節課主要是教給學生“動手做，動腦想；多訓練，勤鉆研”的研討式學習方法。這樣做，能讓學生增加主動參與的機會，增強了合作意識，教給學生獲取知識的途徑，思考問題的方法；這樣做，還能讓學生“學”有新“思”，“思”有所“得”，“練”有所“獲”； 這樣做，更能讓我們的教與學適應新課程背景下培養“創新型”人才的需要。
此外，本節課的設計還注重了多媒體輔助教學的有效作用，在復習引入，定理的探究以及定理的運用等過程中，力求恰到好處地使用多媒體，達到傳統教學與網絡教學優勢互補之境界。
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