數(shù)列數(shù)學(xué)教案設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)： 理解數(shù)列的概念、表示、分類、通項(xiàng)等基本概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系，了解數(shù)列的 通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng)，對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫(xiě)出它 的一個(gè)通項(xiàng)公式；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力 教學(xué)重點(diǎn)： 1.理解數(shù)列概念； 2.用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng). 教學(xué)難點(diǎn)： 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式. ,提高觀察、抽象的能力 一、基本概念 數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù).
數(shù)列的項(xiàng)、數(shù)列的項(xiàng)數(shù) 表示數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系的公式 通項(xiàng)公式：不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式 n n +1 、( 1) 符號(hào)控制器：如( 1) 遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系的公式.
有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列. 無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列. 遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列. 數(shù)列分類 遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列. 常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列. 擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.二、等差數(shù)列：從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列 的公差.
an an 1 d , n 2且n Z ,或 an 1 an d , n 1且n Z an a1 n 1 d am n m d kn b a a1 an am 1、若等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)是 a1 ,公差是 d ,則有 d n n 1 n m a a n n 1 1 d 等差中項(xiàng)：三個(gè)數(shù)a,G,b組成的等差數(shù)列，則稱G為a與b的等差中項(xiàng) 2G=a b 2n p q 2an a p aq 若{an }是等差數(shù)列，則 性質(zhì)： m n p q am an a p aq 若{an }是等差數(shù)列，則am、am k、am 2 k、am 3k、 構(gòu)成公差公差kd的等差數(shù)列 若{a }、{b }是等差數(shù)列, 則{ a + }、 { an + bn }是等差數(shù)列 n n n 2、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式： Sn 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)：
n a1 an n n 1 na1 d pn2 qn 2 2
S偶 S奇 nd * a S奇 若項(xiàng)數(shù)為2n n ,則S2 n n an an 1 , n S偶 an 1 (1) S奇 S偶 an * 若項(xiàng)數(shù)為2n 1 n
,則S n S奇 2 n 1 2n 1 an,S奇 nan S 偶 n 1 an, S偶 n 1
Sm,S2 m Sm ,S3m S2 m成等差數(shù)列 (2) S n { }是等差數(shù)列 n
若等差數(shù)列 {an } , {bn } 的前 n 項(xiàng)和為 Sn , Tn ,,則
an S 2 n 1 bn T2 n 1
(3)等差數(shù)列的求和最值問(wèn)題：(二次函數(shù)的配方法；通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法) ①若
ak 0 a1 0 ,則 S n 有最大值，當(dāng) n=k 時(shí)取到的最大值 k 滿足 d 0 ak 1 0 ak 0 a1 0 ,則 S n 有最小值，當(dāng) n=k 時(shí)取到的最大值 k 滿足 d 0 ak 1 0
②若
三、等比數(shù)列：從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列 的公比. 1、通項(xiàng)公式及其性質(zhì)
an a1q n 1 am q n m 若等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)是 a1 ,公比是 q ,則 n 1 an n m an . q a , q am 1
a,G,b成等比數(shù)列，則稱G為a與b的等比中項(xiàng) G 2 ab 2 2n p q an a p aq 性質(zhì)：若 {an }是等比數(shù)列，則 m n p q am an a p aq k am、am k、am 2 k、am 3k、 成公比q 的等比數(shù)列2、前 n 項(xiàng)和及其性質(zhì)
na1 q 1 , (q 1) . Sn a1 1 q n a a q a a q n a a 1 n 1 1 1 q n 1 Aq n A, q 1 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q
Sn m Sn q n Sm Sn、S2 n Sn、S3n S2 n成等比數(shù)列 . 性質(zhì) S偶 若項(xiàng)數(shù)為2n,則 S q 奇 Sm,S2 m Sm ,S3m S2 m成等比數(shù)列四、(1) an 與 Sn 的關(guān)系： an
n 1 S1 ; (檢驗(yàn) a1 是否滿足 an Sn Sn 1 ) S S n 2 n 1 n
n(n 1) 1 2 3 n 2 n(n 1)(n 2) (2) 12 22 32 n 2 6 2 3 3 3 n (n 1) 2 3 1 2 3 n 4
五、一些方法 1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)；前 n 項(xiàng)和的最大值、最小值 2、求通向公式的常見(jiàn)方法 (1)觀察法；待定系數(shù)法(已知是等差數(shù)列或等比數(shù)列); (2) an an 1 f (n), 累加消元;
an f (n), 累乘消元。 an 1
(3 )
an 1 1 an 1 , (倒數(shù)構(gòu)造等差: k ) ; an k an an 1 an an 1 an an 1 , (兩邊同除構(gòu)造等差: 1 1 1) ; an an 1
(4) an kan 1 b, 化為 (an x) k (an 1 x) 構(gòu)造等比
an qan 1 pn r(構(gòu)造等比數(shù)列： , an xn y q an 1 x n 1 y )an qan 1 pn ,化為3、求前 n 項(xiàng)和的常見(jiàn)方法 公式法、倒序相加、錯(cuò)位相減、列項(xiàng)相消、分組求和
an q an
1 q 1 ,分 是否等 1 討論。 n n 1 p p p p
來(lái)在學(xué)習(xí)第二章函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)第三章數(shù)列有關(guān)知識(shí)，首先我們 看一些例子. 1,2,3,4,…,50 1,2,22,23,…,263 ① ②
15,5,16,16,28 0,10,20,30,…,1000 1,0.84,0.842,0.843,…
③ ④ ⑤
請(qǐng)同學(xué)們觀察上述例子，看它們有何共同特點(diǎn)？ 它們均是一列數(shù)，它們是有一定次序的. 引出數(shù)列及有關(guān)定義. 1.定義 (1)數(shù)列：按照一定次序排成的'一列數(shù). 看來(lái)上述例子就為我們所學(xué)數(shù)列.那么一些數(shù)為何將其按照一定的次序排列，它有何實(shí)際意 義呢？也就是說(shuō)和我們生活有何關(guān)系呢？ 如數(shù)列①,它就是我們班學(xué)生的學(xué)號(hào)由小到大排成的一列數(shù). 數(shù)列②,是引言問(wèn)題中各個(gè)格子里的麥粒數(shù)按放置的先后排成的一列數(shù). 數(shù)列③,好像是我國(guó)體育健兒在五次奧運(yùn)會(huì)中所獲金牌數(shù)排成的一列數(shù). 數(shù)列④,可看作是在 1 km 長(zhǎng)的路段上，從起點(diǎn)開(kāi)始，每隔 10 m 種植一棵樹(shù)，由近及遠(yuǎn)各 棵樹(shù)與起點(diǎn)的距離排成的一列數(shù). 數(shù)列⑤,我們?cè)诨瘜W(xué)課上學(xué)過(guò)一種放射性物質(zhì)，它不斷地變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò) 1 年，它 就只剩留原來(lái)的 84%, 若設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為 1, 則這種物質(zhì)各年開(kāi)始時(shí)的剩留量排成一列 數(shù)，則為：1,0.84,0.842,0.843,…. 諸如此類，還有很多，舉不勝舉，我們學(xué)習(xí)它，掌握它，也是為了使我們的生活更美好，下 面我們進(jìn)一步討論，好嗎？ 現(xiàn)在，就上述例子，我們來(lái)看一下數(shù)列的基本知識(shí). 比如，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)，我們以后把其稱為數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做數(shù)列的第 1 項(xiàng)(或首 項(xiàng)),第 2 項(xiàng)，…,第 n 項(xiàng)，…. 那么，數(shù)列一般可表示為 a1,a2,a3,…,an,….其中數(shù)列的第 n 項(xiàng)用 an 來(lái)表示. 數(shù)列還可簡(jiǎn)記作{an}.
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