復(fù)旦大學(xué)高材生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的方法
數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)對(duì)于解題，增強(qiáng)發(fā)散思維都是極有幫助的，在收斂與發(fā)散的思想間變換，用縱向和橫向的視角看待問題。其中主要包括以下幾方面：
1．對(duì)條件的拓展與發(fā)掘
條件是最好的引路人。數(shù)學(xué)題目通常會(huì)牽著你的鼻子走。當(dāng)完成一個(gè)問題后，首先是回想方法，而試著改變條件往往能有更多的收獲，其中包括拓展和發(fā)掘條件。所謂拓展就是指橫向展開，如對(duì)函數(shù)的研究，就應(yīng)把奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性都考慮進(jìn)去，也可研究其反函數(shù)；在數(shù)列問題中由特殊項(xiàng)延伸至一般項(xiàng)，右一般項(xiàng)到求和，自己試著構(gòu)造數(shù)列，用函數(shù)觀點(diǎn)看待數(shù)列；方程里從一元到多元，從實(shí)數(shù)集到虛數(shù)集。而發(fā)掘條件就是指縱向展開，例如從等差數(shù)列的性質(zhì)推至等比數(shù)列的性質(zhì)；考慮完橢圓的問題就應(yīng)該討論其他的圓錐曲線；在幾何學(xué)習(xí)中，由二維到三維甚至多維空間。 經(jīng)常拓展和發(fā)掘條件，這樣就能達(dá)到舉一反三的.目的，而非僅拘泥于重復(fù)操作。發(fā)散思維能力就慢慢培養(yǎng)起來了。
2．逆向思維的應(yīng)用
并非所有數(shù)學(xué)問題都能從正面入手解決。時(shí)常有同學(xué)在從條件逐步演繹遇到太大阻礙時(shí)，就放棄嘗試了，這其實(shí)正是研究的好時(shí)機(jī)。可以采取逆向思維，“曲線”解題。例如：有些證明題（不局限于幾何）就應(yīng)果斷采用反證法，即使直接證明可以證出，運(yùn)用反證法亦可做進(jìn)一步研究，多得到一種解法；一些排列組合問題，用總數(shù)減去不符要求的元素往往能事半功倍；當(dāng)然，最典型的逆推法就是分析法，大家要仔細(xì)觀察結(jié)論，一步步往上推，順藤摸瓜，再利用條件，就會(huì)有不同的感受和認(rèn)識(shí)。一正一反，相輔相成。
3．合理的聯(lián)想
數(shù)學(xué)的研究性學(xué)習(xí)過程中，要學(xué)會(huì)合理的聯(lián)想，特別對(duì)一些能力型問題，其內(nèi)容一般通過不同語言形式來表現(xiàn)，有符號(hào)語言、文字語言、圖形語言等。面對(duì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)環(huán)境，切不要慌張，先靜下來再看一遍題目，回憶各種定義，定理，公理，是否有相近的形式，或是改動(dòng)了某一部分，進(jìn)行了怎樣的變形，多問一問自己，就能多一些啟示。有時(shí)這種聯(lián)想可以跨越集合和代數(shù)，甚至跨越學(xué)科。運(yùn)用好合理的聯(lián)想，題目便會(huì)迎刃而解，這樣也是在激發(fā)類比思維。
4．抓牢定義
定義是數(shù)學(xué)概念的源頭，充分理解定義是研究數(shù)學(xué)的重要方法。大多數(shù)同學(xué)對(duì)定義只是一看而過，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。應(yīng)當(dāng)要求自己理解定義，把定義以不同方式體現(xiàn)出來，建立多個(gè)定義間的關(guān)系。沒有定義，就沒有后面的研究。追問定義的由來，讓自己主動(dòng)培養(yǎng)科學(xué)的研究精神。
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