高中數學知識點整理
1.1正弦定理、余弦定理
重難點：理解正、余弦定理的證明，并能解決一些簡單的三角形度量問題．
考綱要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．
經典例題：半徑為R的圓外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(a-b)sinB．
(1)求角C；
(2)求△ABC面積的最大值．
當堂練習：
1．在△ABC中，已知a=5, c=10, A=30°, 則∠B= ( )
(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15°
2在△ABC中，若a=2, b=2, c=+,則∠A的度數是 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
3．在△ABC中，已知三邊a、b、c 滿足(a+b+c)?(a+b－c)=3ab, 則∠C=( )
(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°
4．邊長為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為 ( )
(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150°
5．在△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么滿足條件的△ABC ( )
(A) 有 一個解 (B) 有兩個解 (C) 無解 (D)不能確定
6．在平行四邊形ABCD中，AC=BD, 那么銳角A的最大值為 ( )
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°
7. 在△ABC中，若==，則△ABC的形狀是 ( )
(A) 等腰三角形 (B) 等邊三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形
8．如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為（ ）
(A) 銳角三角形 (B) 直角三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 由增加的長度決定
9．在△ABC中，若a=50，b=25, A=45°則B= .
10．若平行四邊形兩條鄰邊的長度分別是4cm和4cm，它們的夾角是45°，則這個平行四邊形的兩條對角線的長度分別為 .
11.在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底邊BC=10，則△ABC的周長是 。
12．在△ABC中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 則△ABC的面積是 .
13．在銳角三角形中，邊a、b是方程x2－2x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)－=0，求角C的度數，邊c的長度及△ABC的面積。
14．在△ABC中，已知邊c=10, 又知==，求a、b及△ABC的內切圓的半徑。
15．已知在四邊形ABCD中，BC＝a，DC=2a，四個角A、B、C、D度數的比為3∶7∶4∶10，求AB的長。
16．在△ABC中，已知角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，邊c=，且tanA+tanB=tanA?tanB－，又△ABC的面積為S△ABC=，求a+b的值。
參考答案：
經典例題：解：(1)∵
∵ 2R(sin2A-sin2C)＝(a－b)sinB
∴ 2R［()2-()2］＝(a-b)?∴ a2-c2＝ab-b2
∴ ∴ cosC＝，∴ C＝30°
(2)∵ S＝absinC＝?2RsinA?2RsinB?sinC＝R2sinAsinB
＝-［cos(A＋B)-cos(A-B)］＝［cos(A-B)＋cosC］
＝［cos(A-B)＋］ 當cos(A-B)＝1時，S有最大值．，
當堂練習：
1.D; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.A; 9. 60°或120°; 10. 4cm和4cm; 11.50; 12. 2或;
13、解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=, ∵△ABC為銳角三角形
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的兩根，∴a+b=2,
a?b=2, ∴c2=a2+b2－2a?bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, S△ABC=absinC=×2×=.
14．解：由=，=,可得 =，變形為sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC為直角三角形.
由a2+b2=102和=，解得a=6, b=8, ∴內切圓的半徑為r===2
15、
解：設四個角A、B、C、D的度數分別為3x、7x、4x、10x，根據四邊形的內角和有3x+7x+4x+10x=360°.解得 x=15° ∴A=45°, B=105°, C=60°, D=150°
連結BD，得兩個三角形△BCD和△ABD
在△BCD中，由余弦定理得
BD2=BC2+DC2－2BC?DC?cosC=a2+4a2－2a?2a?=3a2,
∴BD=a.這時DC2=BD2+BC2，可得△BCD是以DC為斜邊的直角三角形.∴∠CDB=30°, 于是∠ADB=120°
在△ABD中，由正弦定理有AB= ＝＝＝
∴AB的長為
16、解：由tanA+tanB=tanA?tanB－可得＝－，即tan(A+B)=－
∴tan(π－C)= －, ∴－tanC=－, ∴tanC=∵C∈(0, π), ∴C=
又△ABC的面積為S△ABC=，∴absinC=即ab×=, ∴ab=6
又由余弦定理可得c2=a2+b2－2abcosC∴()2= a2+b2－2abcos∴()2= a2+b2－ab=(a+b)2－3ab
∴(a+b)2=, ∵a+b>0, ∴a+b=
又 高中學習方法，解之m=2或m=
而2和不滿足上式. 故這樣的m不存在.
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