高考數學解題方法之數學思想指引
如今的高考，考的并不是誰的邏輯思維強，也不是誰的基礎知識強；而是在考誰能最快、最準做出題來，得更多的分，可見掌握應試教育的技巧是多么的重要。下面是小編為大家帶來的高考數學題解法之數學思想指引，歡迎閱讀。
在數學的知識和技能中，蘊涵著具有普遍性的數學思想，它是數學的精髓和靈魂，是知識轉化為能力的橋梁，是人們對數學事實與理論，經過高度提煉概括后產生的本質認識，是數學知識和方法產生的根本源泉，是解決數學問題的指路明燈. 對數學思想的應用，是數學學習走向更深層次的一個標志. 高考試題中也蘊涵了豐富的數學思想，只有挖掘其中的思想，才能深入認識試題，透徹分析試題，順利解答試題.本文就以2014年浙江數學高考文科卷第16題為例，淺談在數學思想指引下的解法探究.
試題呈現：已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是_______. （2014年浙江省數學高考文科試卷第16題）
點評：此題雖小，卻是亮點.看似平常，卻是豐富多彩.入口寬，方法多，蘊涵著豐富的數學思想.
探究視角1 構造思想方法的應用
構造法是一種極其重要的數學思想方法，其本質特征是構造，通過觀察、分析已知條件和需要解決的問題，聯系已有的知識，構造出適當的數學式子或數學模型，來解決問題.
1. 構造重要不等式
x，y∈R，x2+y2≥2xy，當且僅當x=y時取等.
推論：x，y∈R，x2+y2≥，當且僅當x=y時取等.
解法1：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
因為（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，
所以-≤a≤，所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等.
解法2：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，當且僅當b=c時取等.
解法3：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
所以bc==a2-. 因為b，c∈R，b2+c2≥2bc，
所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，
所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等.
2. 構造柯西不等式
二維柯西不等式：任取實數x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，
當且僅當xi=kyi（i=1，2）時取等.
解法4：因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.
由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，當且僅當b=c時取等.
探究視角2 函數與方程思想方法的應用
函數與方程思想是數學本質的思想之一. 函數思想是指利用函數的概念與性質去分析問題、轉化問題、解決問題.方程思想是指從問題的數量關系入手，用數學語言問題中的條件轉化為數學模型，如方程、不等式、方程與不等式組等，然后通過解方程或不等式組使問題得到解決.
解法5：（構造方程）
因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c為一元二次方程x2+ax+a2-=0的兩個分布在（-1，1）上的實根.
所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
點評：此法是將已知條件轉化為一元二次方程，常用判別式來探求根的情況，但要注意根的分布.
解法6：（消元，減少變量）
因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.
消掉c得，a2+b2+ab-=0.
解法7：（增量換元，構造函數）
因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.
所以令b=-+x，c=--x，x∈R，則-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
解法8：（三角換元）
因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，則-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.
所以sinθ+= ，所以≤1.
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
點評：換元法又稱輔助元素法、變量代換法，即通過引進新的變量，可以將分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者將條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的形式，從而將復雜的計算和證明簡化.
探究視角3 數學結合思想
華羅庚先生說過：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直觀，形少數時難入微.” 數形結合是一種重要的數學思想，運用時關鍵在于數形相互轉化，即用代數方法處理幾何問題，或通過構圖解決代數問題，數形結合在解題中的'應用不僅能整合學生相關的數學知識，而且能培養學生的創新思維.
解法9：（坐標思想，直線與圓的位置關系）
因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，
所以點（b，c）在以原點為圓心，為半徑的圓上，同時又在直線b+c+a=0上，則由直線與圓的位置關系可得：圓心距d=≤.
所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.
解法10：（構造三角形，利用正余弦定理來解三角形）
因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），
所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-
消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，為邊構造三角形，令其所對角分別為A，B，D，則由余弦定理可得，cosD==.
（1）若ab>0，則cosD===-，則D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A∈0，，0 （2）若ab<0，則cosD===，則D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，則a=sinA，A∈0，，0 由（1）（2）可得a的最大值是.
探究視角4 特殊化思想的應用
根據矛盾論的基本原理，我們在認識事物和解決問題的過程中，必須堅持具體問題具體分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指導下，具體分析矛盾的特殊性.數學問題，特別是高考試題變化無窮、深淺莫測、精彩紛呈. 在解題中，若能充分挖掘隱藏于問題之中或與之相關的特殊值、特殊點、特殊圖形、特殊位置和特殊結構，則可避免煩瑣的運算、作圖和推理，得到意想不到的、新穎獨特的最佳解法. 這種利用特殊因素，采取特殊方法，解決特殊問題的思維方法，我們稱之為特殊化思想方法. 每年的高考題中（尤其是選擇題和填充題）都有幾道題可直接運用特殊化思想方法獲解.
解法11：特殊值法
因為a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，則a=-2b，a2=1-2b2.
所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，
所以a的最大值是.
數學思想方法不是操作程序，沒有具體的步驟，需要感悟、理解，但是，沒有數學思想方法就找不到解題方向. 在上述解法探究中，要感悟試題中所蘊涵的數學思想，在上述四個視角中體現了構造思想、函數思想、方程思想、換元思想、數形結合思想、特殊化思想. 近年的高考越來越重視對數學思想方法的考查. 隨著試題難度的上升，數學思想方法的作用會越來越重要.
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