高考數學復習：基本不等式訓練題
基本不等式在高考數學中是作為重點內容考察的，下面小編為大家整理了高考數學復習：基本不等式訓練題，希望能幫到大家！
一、選擇題
1.下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A.x+12xB.x2-1+1x2-1
C.2x+2-xD.x(1-x)
答案：C
2.函數y=3x2+6x2+1的最小值是()
A.32-3B.-3
C.62D.62-3
解析：選D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)≥3(22-1)=62-3.
3.已知m、n∈R，mn=100，則m2+n2的最小值是()
A.200B.100
C.50D.20
解析：選A.m2+n2≥2mn=200，當且僅當m=n時等號成立.
4.給出下面四個推導過程：
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba+ab≥2ba?ab=2;
②∵x，y∈(0，+∞)，∴lgx+lgy≥2lgx?lgy;
③∵a∈R，a≠0，∴4a+a≥24a?a=4;
④∵x，y∈R，，xy<0，∴xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]≤-2?-xy??-yx?=-2.
其中正確的推導過程為()
A.①②B.②③
C.③④D.①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮.
①∵a，b∈(0，+∞)，∴ba，ab∈(0，+∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確;
②雖然x，y∈(0，+∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數，y∈(0,1)時，lgy是負數，∴②的推導過程是錯誤的;
③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a+a≥24a?a=4是錯誤的;
④由xy<0得xy，yx均為負數，但在推導過程中將全體xy+yx提出負號后，(-xy)均變為正數，符合基本不等式的條件，故④正確.
5.已知a>0，b>0，則1a+1b+2ab的最小值是()
A.2B.22
C.4D.5
解析：選C.∵1a+1b+2ab≥2ab+2ab≥22×2=4.當且僅當a=bab=1時，等號成立，即a=b=1時，不等式取得最小值4.
6.已知x、y均為正數，xy=8x+2y，則xy有()
A.最大值64B.最大值164
C.最小值64D.最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數，
∴xy=8x+2y≥28x?2y=8xy，
當且僅當8x=2y時等號成立.
∴xy≥64.
二、填空題
7.函數y=x+1x+1(x≥0)的最小值為________.
答案：1
8.若x>0，y>0，且x+4y=1，則xy有最________值，其值為________.
解析：1=x+4y≥2x?4y=4xy，∴xy≤116.
答案：大116
9.(2010年高考山東卷)已知x，y∈R+，且滿足x3+y4=1，則xy的最大值為________.
解析：∵x>0，y>0且1=x3+y4≥2xy12，∴xy≤3.
當且僅當x3=y4時取等號.
答案：3
三、解答題
10.(1)設x>-1，求函數y=x+4x+1+6的最小值;
(2)求函數y=x2+8x-1(x>1)的最值.
解：(1)∵x>-1，∴x+1>0.
∴y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+5
≥2?x+1??4x+1+5=9，
當且僅當x+1=4x+1，即x=1時，取等號.
∴x=1時，函數的最小值是9.
(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1
=(x-1)+9x-1+2.∵x>1，∴x-1>0.
∴(x-1)+9x-1+2≥2?x-1??9x-1+2=8.
當且僅當x-1=9x-1，即x=4時等號成立，
∴y有最小值8.
11.已知a，b，c∈(0，+∞)，且a+b+c=1，求證：(1a-1)?(1b-1)?(1c-1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，+∞)，a+b+c=1，
∴1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca≥2bca，
同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.
當且僅當a=b=c時取等號.
12.某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計).
問：污水處理池的長設計為多少米時可使總價最低.
解：設污水處理池的長為x米，則寬為200x米.
總造價f(x)=400×(2x+2×200x)+100×200x+60×200
=800×(x+225x)+12000
≥1600x?225x+12000
=36000(元)
當且僅當x=225x(x>0)，
即x=15時等號成立.
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