高中數(shù)學學習：函數(shù)值域的12種解法
在平凡的學習、工作、生活中，大家都知道函數(shù)值域解法嗎？以下是小編整理的高中數(shù)學學習：函數(shù)值域的12種解法，希望能夠幫助到大家。
一、觀察法
通過對函數(shù)定義域、性質的觀察，結合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。
例1求函數(shù)y=3+√(2-3x) 的值域。
點撥：根據(jù)算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，
故3+√(2-3x)≥3.
∴函數(shù)的知域為。
點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數(shù)的非負性，(2)值的非負性。
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。
練習：求函數(shù)y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)
二、反函數(shù)法
當函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。
例2求函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。
解：顯然函數(shù)y=(x+1)/(x+2)的反函數(shù)為：x=(1-2y)/(y-1)，其定義域為y≠1的實數(shù)，故函數(shù)y的值域為{y∣y≠1，y∈R｝。
點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學解題的重要方法之一。
練習：求函數(shù)y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數(shù)的值域為{y∣y<-1或y>1｝)
三、配方法
當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復合函數(shù)時，可以利用配方法求函數(shù)值域
例3：求函數(shù)y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數(shù)配方成平方數(shù)，利用二次函數(shù)的值求。
解：由-x2+x+2≥0，可知函數(shù)的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]
∴0≤√-x2+x+2≤3/2，函數(shù)的值域是[0，3/2]
點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應關系的應用，而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數(shù)學的一種重要的思想方法。
練習：求函數(shù)y=2x-5+√15-4x的值域。(答案：值域為{y∣y≤3})
四、判別式法
若可化為關于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù)，可用判別式法求函數(shù)的值域。
例4求函數(shù)y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函數(shù)轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
當y≠2時，由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2
當y=2時，方程(*)無解。∴函數(shù)的值域為2
點評：把函數(shù)關系化為二次方程F(x，y)=0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數(shù)。
練習：求函數(shù)y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。
五、值法
對于閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x)，可求出y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的較值，并與邊界值f(a).f(b)作比較，求出函數(shù)的值，可得到函數(shù)y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0，且滿足x+y=1，求函數(shù)z=xy+3x的值域。
點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2)，
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1，3/2]，函數(shù)z在區(qū)間[-1，3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。
當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4.
∴函數(shù)z的值域為{z∣-5≤z≤15/4｝。
點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉化為函數(shù)的值。對開區(qū)間，若存在值，也可通過求出值而獲得函數(shù)的值域。
練習：若√x為實數(shù)，則函數(shù)y=x2+3x-5的值域為 ()
A.(-∞，+∞)B.[-7，+∞]C.[0，+∞)D.[-5，+∞)
(答案：D)。
六、圖象法
通過觀察函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結合的方法得到函數(shù)的值域。
例6求函數(shù)y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。
點撥：根據(jù)值的意義，去掉符號后轉化為分段函數(shù)，作出其圖象。
解：原函數(shù)化為 -2x+1(x≤1)
y= 3 (-1
2x-1(x>2)
它的圖象如圖所示。
顯然函數(shù)值y≥3，所以，函數(shù)值域[3，+∞]。
點評：分段函數(shù)應注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象
求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結合的思想。是解決問題的重要方法。
求函數(shù)值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數(shù)的單調性、換元法等方法求函數(shù)的值域。
什么是函數(shù)值域
值域，數(shù)學名詞，在函數(shù)經(jīng)典定義中，因變量改變而改變的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域，在函數(shù)現(xiàn)代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范圍就是函數(shù)f(x)的值域。
在實數(shù)分析中，函數(shù)的值域是實數(shù)，而在復數(shù)域中，值域是復數(shù)。
定義
函數(shù)經(jīng)典定義中，因變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的值域,在函數(shù)現(xiàn)代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}
常見函數(shù)值域：
y=kx+b （k≠0）的值域為R
y=k/x 的值域為(-∞,0)∪(0,+∞)
y=√x的值域為y≥0
y=ax^2+bx+c 當a>0時，值域為 [4ac-b^2/4a,+∞) ；
當a<0時，值域為（-∞，4ac-b^2/4a]
y=a^x 的值域為 (0,+∞)
y=lgx的值域為R[2]
常用方法
化歸法
在解決問題的過程中，數(shù)學家往往不是直接解決原問題，而是對問題進行變形、轉化，直至把它化歸為某個(些)已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題。 把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結果作用于原有問題，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法；
解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。 換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟碗s的計算和推證簡化。 它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應用。。 例如在分解(x+x+1)(x+x+2)-12時，可以令y=x+x,則 原式=(y+1)(y+2)-12 =y+3y+2-12=y+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x+x+5)(x+x-2) =(x+x+5)(x+2)(x-1)． 例2，(x+5)+(y-4)=8 (x+5)-(y-4)=4 令x+5=m,y-4=n 原方程可寫為 m+n=8 m-n=4 解得m=6,n=2 所以x+5=6,y-4=2 所以x=1,y=6 注意：換元后勿忘還原；
利用函數(shù)和他的反函數(shù)定義域與值域的互逆關系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域；
圖像法
根據(jù)函數(shù)圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。
配方法
利用二次函數(shù)的配方法求值域，需注意自變量的取值范圍。
單調性法
利用二次函數(shù)的頂點式或對稱軸，再根據(jù)單調性來求值域。
反函數(shù)法
若函數(shù)存在反函數(shù)，可以通過求其反函數(shù)，確定其定義域就是原函數(shù)的值域。
換元法
包含代數(shù)換元、三角換元兩種方法，換元后要特別注意新變量的范圍[2]。
判別式法
判別式法即利用二次函數(shù)的判別式求值域。
復合函數(shù)法
設復合函數(shù)為f[g(x)，]g(x) 為內(nèi)層函數(shù), 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然后把g(x) 看成一個整體，相當于f(x)的自變量x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然后根據(jù) f(x)函數(shù)的性質求出其值域；
三角代換法
利用基本的三角關系式，進行簡化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求證：ac+bd小于或等于1. 直接計算麻煩 用三角代換法比較簡單：做法：設a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,則 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因為我們知道cos (y-x)小于等于1，所以不等式成立。；
不等式法
基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函數(shù)值域時，要時刻注意不等式成立的條件，即“一正，二定，三相等”。
分離常數(shù)法
把分子分母中都有的未知數(shù)變成只有分子或者只有分母的情況，由于分子分母中都有未知數(shù)與常數(shù)的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數(shù)變成分母的倍數(shù)，然后就只剩下常數(shù)除以一個含有未知數(shù)的式子
關于誤區(qū)
定義域、對應法則、值域是函數(shù)構造的三個基本“元件”。平時數(shù)學中，實行“定義域優(yōu)先”的原則，無可置疑。然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或淡化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數(shù)的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當?shù)模^不能厚此薄彼，何況它們二者隨時處于互相轉化之中（典型的例子是互為反函數(shù)的定義域與值域的相互轉化）。如果函數(shù)的值域是無限集的話，那么求函數(shù)值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯(lián)系函數(shù)的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數(shù)的取值情況。才能獲得正確答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難。實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和討論，有利于對定義域內(nèi)函數(shù)的理解，從而深化對函數(shù)本質的認識。
范圍
“范圍”與“值域”是我們在學習中經(jīng)常遇到的兩個概念.許多同學常常將它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。“值域”是所有函數(shù)值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數(shù)的取值），而“范圍”則只是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。也就是說:“值域”是一個“范圍”，而“范圍”卻不一定是“值域”。
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