高中數學競賽題解題方法
高中數學競賽解題方法，你知道有幾種，高中數學競賽解題方法是怎么樣的呢？那么，關于高中數學競賽解題方法有哪些？以下就是小編整理的高中數學競賽解題方法，一起來看看吧！
配方法
配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
b3a2＋ab＋b2＝(a＋)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋)2＋（b）2； 22
1a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2] 2
2222a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝?
結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；
111x2＋2＝(x＋)2－2＝(x－)2＋2 ；?? 等等。 xxx
�、�、再現性題組：
1. 在正項等比數列{an}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，則 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。 A.<k<1 B. k<或k>1 C. k∈R D. k＝或k＝1
3. 已知sin4α＋cos4α＝1，則sinα＋cosα的值為______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函數y＝log1 (－2x2＋5x＋3)的單調遞增區間是_____。
A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)
5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的兩根x1、x2，則點P(x1,x2)在圓x2+y2=4上，則實數a＝_____。
【簡解】 1小題：利用等比數列性質am?pam?p＝am2，將已知等式左邊后配方（a3＋a5）2易求。答案是：5。
2小題：配方成圓的標準方程形式(x－a)2＋(y－b)2＝r2，解r2>0即可，選B。 3小題：已知等式經配方成(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解。選C。
4小題：配方后得到對稱軸，結合定義域和對數函數及復合函數的單調性求解。選D。
5小題：答案3－。
Ⅱ、示范性題組：
例1. 已知長方體的全面積為11，其12條棱的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____。 A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先轉換為數學表達式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則?2(xy?yz?xz)?11 ,而欲求對角線長x2?y2?z2，將其配湊成兩已知式的組合?4(x?y?z)?24?
形式可得。
【解】設長方體長寬高分別為x,y,z，由已知“長方體的全面積為11，其12
?2(xy?yz?xz)?11條棱的長度之和為24”而得：?。 ?4(x?y?z)?24
長方體所求對角線長為：x2?y2?z2＝(x?y?z)2?2(xy?yz?xz)＝62?11＝5
所以選B。
【注】本題解答關鍵是在于將兩個已知和一個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發現使用配方法將三個數學式進行聯系，即聯系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。
例2. 設方程x2＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若(p2q2)+()≤7成立，求實qp
數k的取值范圍。
【解】方程x2＋kx＋2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , p2q2[(p?q)2?2pq]2?2p2q2(p2?q2)2?2p2q2p4?q4
()+()＝＝＝＝qp(pq)2(pq)2(pq)2
(k2?4)2?8≤7， 解得k≤－或k≥ 。 4
又 ∵p、q為方程x2＋kx＋2=0的兩實根， ∴ △＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22
綜合起來，k的取值范圍是：－≤k≤－22 或者 22≤k≤。
【注】 關于實系數一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“Δ”；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p＋q、pq后，觀察已知不等式，從其結構特征聯想到先通分后配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對“△”討論，結果將出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對“△”的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。
ba例3. 設非零復數a、b滿足a2＋ab＋b2=0，求()1998＋()1998 。 a?ba?b
aaa【分析】 對已知式可以聯想：變形為()2＋()＋1＝0，則＝ω （ω為bbb
1的立方虛根）；或配方為(a＋b)2＝ab 。則代入所求式即得。
aa【解】由a2＋ab＋b2=0變形得：()2＋()＋1＝0 ， bb
a1b設ω＝，則ω2＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω3＝ba?3＝1。
又由a2＋ab＋b2=0變形得：(a＋b)2＝ab ，
baaba2
999b2
99919981998所以 ()＋()＝()＋()＝()999＋()999＝ωa?bbaa?babab
999＋999＝2 。
【注】 本題通過配方，簡化了所求的表達式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質，計算表達式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善于聯想和展開。
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