四年級常考的奧數題：剩余定理
導語：我們最好把自己的生命看做前人生命的延續，是現在共同生命的一部分，同時也后人生命的開端。如此延續下去，科學就會一天比一天燦爛，社會就會一天比一天更美好。下面是小編為大家整理的：奧數題。希望對大家有所幫助,歡迎閱讀，僅供參考，更多相關的知識，請關注CNFLA學習網!
小學奧數題【例一】
民間傳說著一則故事——“韓信點兵”.
秦朝末年,楚漢相爭.一次,韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰.苦戰一場,楚軍不敵,敗退回營,漢軍也死傷四五百人,于是韓信整頓兵馬也返回大本營.當行至一山坡,忽有后軍來報,說有楚軍騎兵追來.只見遠方塵土飛揚,殺聲震天.漢軍本來已十分疲憊,這時隊伍大嘩.韓信兵馬到坡頂,見來敵不足五百騎,便急速點兵迎敵.他命令士兵3人一排,結果多出2名;接著命令士兵5人一排,結果多出3名;他又命令士兵7人一排,結果又多出2名.韓信馬上向將士們宣布：我軍有1073名勇士,敵人不足五百,我們居高臨下,以眾擊寡,一定能打敗敵人.漢軍本來就信服自己的統帥,這一來更相信韓信是“神仙下凡”、“神機妙算”.于是士氣大振.一時間旌旗搖動,鼓聲喧天,漢軍步步進逼,楚軍亂作一團.交戰不久,楚軍大敗而逃.
首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945(注：因為5、9、13、17為兩兩互質的整數,故其最小公倍數為這些數的積),然後再加3,得9948(人).
在一千多年前的《孫子算經》中,有這樣一道算術題：
“今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?”按照今天的話來說：一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求這個數.
這樣的問題,也有人稱為“韓信點兵”.它形成了一類問題,也就是初等數論中解同余式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”,這是由中國人首先提出的.
① 有一個數,除以3余2,除以4余1,問這個數除以12余幾?
除以3余2的數有：
2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23….
它們除以12的余數是：
2,5,8,11,2,5,8,11,….
除以4余1的數有：
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,….
它們除以12的余數是：
1, 5, 9, 1, 5, 9,….
一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中,只有5是共同的,因此這個數除以12的'余數是5.
如果我們把①的問題改變一下,不求被12除的余數,而是求這個數.很明顯,滿足條件的數是很多的,它是 5+12×整數,
整數可以取0,1,2,…,無窮無盡.事實上,我們首先找出5后,注意到12是3與4的最小公倍數,再加上12的整數倍,就都是滿足條件的數.這樣就是把“除以3余2,除以4余1”兩個條件合并成“除以12余5”一個條件.《孫子算經》提出的問題有三個條件,我們可以先把兩個條件合并成一個.然后再與第三個條件合并,就可找到答案.
②一個數除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合條件的最小數.
先列出除以3余2的數：
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,
再列出除以5余3的數：
3, 8, 13, 18, 23, 28,….
這兩列數中,首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合并成一個就是8+15×整數,列出這一串數是8, 23, 38,…,再列出除以7余2的數 2, 9, 16, 23, 30,…,
就得出符合題目條件的最小數是23.
事實上,我們已把題目中三個條件合并成一個：被105除余23.
那么韓信點的兵在1000-1500之間,應該是105×10+23=1073人
中國有一本數學古書「孫子算經」也有類似的問題：「今有物,不知其數,三三數之,剩二,五五數之,剩三,七七數之,剩二,問物幾何?」
答曰：「二十三」
術曰：「三三數之剩二,置一百四十,五五數之剩三,置六十三,七七數之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十減之,即得.凡三三數之剩一,則置七十,五五數之剩一,則置二十一,七七數之剩一,則置十五,即得.」
孫子算經的作者及確實著作年代均不可考,不過根據考證,著作年代不會在晉朝之后,以這個考證來說上面這種問題的解法,中國人發現得比西方早,所以這個問題的推廣及其解法,被稱為中國剩余定理.中國剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位.
簡單扼要總結:
1.算兩兩數之間的能整除數
2.算三個數的能整除數
3.用1中的三個整除數之和減去2中的整除數之差(有時候是倍數)
4計算結果即可
韓信帶1500名兵士打仗,戰死四五百人,站3人一排,多出2人;站5人一排,多出4人;站7人一排,多出6人.韓信馬上說出人數：1049
如多一人,即可湊整.幸存人數應在1000~1100人之間,即得出：
3乘5乘7乘10減1=1049(人)
小學奧數題【例二】
有一個年級的同學,每9人一排多5人,每7人一排多1人, 每5人一排多2人,問這個年級至少有多少人?
求數學高手詳細解答!剩余定理是什么意思?
5 和 9 的公倍數依次是 45、90、135、180、225 ……
這些公倍數中，被7除余1的數是 225
9 和 7 的公倍數依次是 63、126、189、252……
這其中，被5除余2的是 252
5 和 7 的公倍數是 35、70、105、140、……
其中被9除余5的數是 140
把以上 225 252 140 三個數相加，求得
225 + 252 + 140 = 617
5 7 9 三個數的最小公倍數是 5*7*9=315
617-315 = 302
因此 302 就是這個年級至少人數。
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