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    二次根式定義教學設計

    時間:2021-02-10 09:53:34 教學設計

    二次根式定義教學設計

      判斷一個二次根式是否為最簡二次根式 主要方法是根據最簡二次根式的定義進行,或直觀地觀察被開方數的每一個因數(或因式)的指數都小于根指數2,且被開方數中不含有分母,被開方數是多項式時要先因式分解后再觀察。下面是小編為你帶來的二次根式定義教學設計,歡迎閱讀。

    二次根式定義教學設計

      教材內容

      1.本單元教學的主要內容:

      二次根式的概念;二次根式的加減;二次根式的乘除;最簡二次根式.

      2.本單元在教材中的地位和作用:

      二次根式是在學完了八年級下冊第十七章《反比例正函數》、第十八章《勾股定理及其應用》等內容的基礎之上繼續學習的,它也是今后學習其他數學知識的基礎.

      教學目標

      1.知識與技能

      (1)理解二次根式的概念.

      (2)理解 (a≥0)是一個非負數,( )2=a(a≥0), =a(a≥0).

      (3)掌握 · = (a≥0,b≥0), = · ;

      = (a≥0,b>0), = (a≥0,b>0).

      (4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.

      2.過程與方法

      (1)先提出問題,讓學生探討、分析問題,師生共同歸納,得出概念.再對概念的內涵進行分析,得出幾個重要結論,并運用這些重要結論進行二次根式的計算和化簡.

      (2)用具體數據探究規律,用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規定,并運用規定進行計算.

      (3)利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法規定的逆向等式并運用它進行化簡.

      (4)通過分析前面的計算和化簡結果,抓住它們的共同特點,給出最簡二次根式的概念.利用最簡二次根式的概念,來對相同的二次根式進行合并,達到對二次根式進行計算和化簡的目的.

      3.情感、態度與價值觀

      通過本單元的學習培養學生:利用規定準確計算和化簡的嚴謹的科學精神,經過探索二次根式的重要結論,二次根式的乘除規定,發展學生觀察、分析、發現問題的能力.

      教學重點

      1.二次根式 (a≥0)的內涵. (a≥0)是一個非負數;( )2=a(a≥0); =a(a≥0)及其運用.

      2.二次根式乘除法的規定及其運用.

      3.最簡二次根式的概念.

      4.二次根式的加減運算.

      教學難點

      1.對 (a≥0)是一個非負數的理解;對等式( )2=a(a≥0)及 =a(a≥0)的理解及應用.

      2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

      3.利用最簡二次根式的`概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

      教學關鍵

      1.潛移默化地培養學生從具體到一般的推理能力,突出重點,突破難點.

      2.培養學生利用二次根式的規定和重要結論進行準確計算的能力,培養學生一絲不茍的科學精神.

      單元課時劃分

      本單元教學時間約需11課時,具體分配如下:

      21.1  二次根式            3課時

      教學活動、習題課、小結     2課時

      21.1  二次根式

      第一課時

      教學內容

      二次根式的概念及其運用

      教學目標

      理解二次根式的概念,并利用 (a≥0)的意義解答具體題目.

      提出問題,根據問題給出概念,應用概念解決實際問題.

      教學重難點關鍵

      1.重點:形如 (a≥0)的式子叫做二次根式的概念;

      2.難點與關鍵:利用“ (a≥0)”解決具體問題.

      教學過程

      一、復習引入

      (學生活動)請同學們獨立完成下列三個問題:

      問題1:已知反比例函數y= ,那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________.

      問題2:如圖,在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,∠C=90°,那么AB邊的長是__________.

      問題3:甲射擊6次,各次擊中的環數如下:8、7、9、9、7、8,那么甲這次射擊的方差是S2,那么S=_________.

      老師點評:

      問題1:橫、縱坐標相等,即x=y,所以x2=3.因為點在第一象限,所以x= ,所以所求點的坐標( , ).

      問題2:由勾股定理得AB=

      問題3:由方差的概念得S=  。

      二、探索新知

      很明顯 、 、 ,都是一些正數的算術平方根.像這樣一些正數的算術平方根的式子,我們就把它稱二次根式.因此,一般地,我們把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”稱為二次根號.

      (學生活動)議一議:

      1.—1有算術平方根嗎?

      2.0的算術平方根是多少?

      3.當a<0, 有意義嗎?

      老師點評:(略)

      例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式: 、 、 、 (x>0)、 、 、— 、 、 (x≥0,y≥0).

      分析:二次根式應滿足兩個條件:第一,有二次根號“ ”;第二,被開方數是正數或0.

      解:二次根式有: 、 (x>0)、 、— 、 (x≥0,y≥0);不是二次根式的有: 、 、 、 .

      例2.當x是多少時, 在實數范圍內有意義?

      分析:由二次根式的定義可知,被開方數一定要大于或等于0,所以3x—1≥0, 才能有意義.

      解:由3x—1≥0,得:x≥

      當x≥ 時, 在實數范圍內有意義.

      三、鞏固練習

      教材P練習1、2、3.

      四、應用拓展

      例3.當x是多少時, + 在實數范圍內有意義?

      分析:要使 + 在實數范圍內有意義,必須同時滿足 中的≥0和 中的x+1≠0.

      解:依題意,得

      由①得:x≥—

      由②得:x≠—1

      當x≥— 且x≠—1時, + 在實數范圍內有意義.

      例4(1)已知y= + +5,求 的值.(答案:2)

      (2)若 + =0,求a2004+b2004的值.(答案: )

      五、歸納小結(學生活動,老師點評)

      本節課要掌握:

      1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式,“ ”稱為二次根號.

      2.要使二次根式在實數范圍內有意義,必須滿足被開方數是非負數.

      六、布置作業

      1.教材P8復習鞏固1、綜合應用5.

      2.選用課時作業設計.

      3。課后作業:《同步訓練》

      第二課時

      教學內容

      1. (a≥0)是一個非負數;

      2.( )2=a(a≥0).

      教學目標

      理解 (a≥0)是一個非負數和( )2=a(a≥0),并利用它們進行計算和化簡.

      通過復習二次根式的概念,用邏輯推理的方法推出 (a≥0)是一個非負數,用具體數據結合算術平方根的意義導出( )2=a(a≥0);最后運用結論嚴謹解題.

      教學重難點關鍵

      1.重點: (a≥0)是一個非負數;( )2=a(a≥0)及其運用.

      2.難點、關鍵:用分類思想的方法導出 (a≥0)是一個非負數;用探究的方法導出( )2=a(a≥0).

      教學過程

      一、復習引入

      (學生活動)口答

      1.什么叫二次根式?

      2.當a≥0時, 叫什么?當a<0時, 有意義嗎?

      老師點評(略).

      二、探究新知

      議一議:(學生分組討論,提問解答)

      (a≥0)是一個什么數呢?

      老師點評:根據學生討論和上面的練習,我們可以得出

      (a≥0)是一個非負數.

      做一做:根據算術平方根的意義填空:

      ( )2=_______;( )2=_______;( )2=______;( )2=_______;

      ( )2=______;( )2=_______;( )2=_______.

      老師點評: 是4的算術平方根,根據算術平方根的意義, 是一個平方等于4的非負數,因此有( )2=4.

      同理可得:( )2=2,( )2=9,( )2=3,( )2= ,( )2= ,( )2=0,所以

      ( )2=a(a≥0)

      例1  計算

      1.( )2    2.(3 )2    3.( )2     4.( )2

      分析:我們可以直接利用( )2=a(a≥0)的結論解題.

      解:( )2 = ,(3 )2 =32·( )2=32·5=45,

      ( )2= ,( )2= .

      三、鞏固練習

      計算下列各式的值:

      ( )2    ( )2    ( )2    ( )2     (4 )2

      四、應用拓展

      例2  計算

      1.( )2(x≥0)   2.( )2   3.( )2

      4.( )2

      分析:(1)因為x≥0,所以x+1>0;(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0;

      (4)4x2—12x+9=(2x)2—2·2x·3+32=(2x—3)2≥0.

      所以上面的4題都可以運用( )2=a(a≥0)的重要結論解題.

      解:(1)因為x≥0,所以x+1>0

      ( )2=x+1

      (2)∵a2≥0,∴( )2=a2

      (3)∵a2+2a+1=(a+1)2

      又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0 ,∴ =a2+2a+1

      (4)∵4x2—12x+9=(2x)2—2·2x·3+32=(2x—3)2

      又∵(2x—3)2≥0

      ∴4x2—12x+9≥0,∴( )2=4x2—12x+9

      例3在實數范圍內分解下列因式:

      (1)x2—3    (2)x4—4        (3) 2x2—3

      分析:(略)

      五、歸納小結

      本節課應掌握:

      1. (a≥0)是一個非負數;

      2.( )2=a(a≥0);反之:a=( )2(a≥0).

      六、布置作業

      1.教材P8  復習鞏固2.(1)、(2)  P9  7.

      2.選用課時作業設計.

      3。課后作業:《同步訓練》

      第三課時

      教學內容

      =a(a≥0)

      教學目標

      理解 =a(a≥0)并利用它進行計算和化簡.

      通過具體數據的解答,探究 =a(a≥0),并利用這個結論解決具體問題.

      教學重難點關鍵

      1.重點: =a(a≥0).

      2.難點:探究結論.

      3.關鍵:講清a≥0時, =a才成立.

      教學過程

      一、復習引入

      老師口述并板收上兩節課的重要內容;

      1.形如 (a≥0)的式子叫做二次根式;

      2. (a≥0)是一個非負數;

      3.( )2=a(a≥0).

      那么,我們猜想當a≥0時, =a是否也成立呢?下面我們就來探究這個問題.

      二、探究新知

      (學生活動)填空:

      =_______; =_______; =______;

      =________; =________; =_______.

      (老師點評):根據算術平方根的意義,我們可以得到:

      =2; =0。01; = ; = ; =0; = .

      因此,一般地: =a(a≥0)

      例1  化簡

      (1)   (2)   (3)   (4)

      分析:因為(1)9=—32,(2)(—4)2=42,(3)25=52,

      (4)(—3)2=32,所以都可運用 =a(a≥0)去化簡.

      解:(1) = =3  (2) = =4

      (3) = =5  (4) = =3

      三、鞏固練習

      教材P7練習2.

      四、應用拓展

      例2  填空:當a≥0時, =_____;當a<0時, =_______,并根據這一性質回答下列問題.

      (1)若 =a,則a可以是什么數?

      (2)若 =—a,則a可以是什么數?

      (3) >a,則a可以是什么數?

      分析:∵ =a(a≥0),∴要填第一個空格可以根據這個結論,第二空格就不行,應變形,使“(  )2”中的數是正數,因為,當a≤0時, = ,那么—a≥0.

      (1)根據結論求條件;(2)根據第二個填空的分析,逆向思想;(3)根據(1)、(2)可知 =│a│,而│a│要大于a,只有什么時候才能保證呢?a<0.

      解:(1)因為 =a,所以a≥0;

      (2)因為 =—a,所以a≤0;

      (3)因為當a≥0時 =a,要使 >a,即使a>a所以a不存在;當a<0時,>a,即使—a>a,a<0綜上,a<0

      例3當x>2,化簡 — .

      分析:(略)

      五、歸納小結

      本節課應掌握: =a(a≥0)及其運用,同時理解當a<0時, =-a的應用拓展.

      六、布置作業

      1.教材P8習題21.1  3、4、6、8.

      2.選作課時作業設計.

      3。課后作業:《同步訓練》

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