數學函數的最值教案
第八課時 函數的最值
【學習導航】
知識網絡
學習要求
1．了解函數的最大值與最小值概念；
2．理解函數的最大值和最小值的幾何意義；
3．能求一些常見函數的最值和值域．
自學評價
1．函數最值的定義：
一般地，設函數 的定義域為 ．
若存在定值 ，使得對于任意 ，有 恒成立，則稱 為 的最大值，記為 ；
若存在定值 ，使得對于任意 ，有 恒成立，則稱 為 的最小值，記為 ；
2．單調性與最值：
設函數 的定義域為 ，
若 是增函數，則 ， ；
若 是減函數，則 ， ．
【精典范例】
一．根據函數圖像寫單調區間和最值：
例1：如圖為函數 ， 的圖象，指出它的最大值、最小值及單調區間．
【解】
由圖可以知道：
當 時，該函數取得最小值 ；
當 時，函數取得最大值為 ；
函數的單調遞增區間有２個： 和 ；
該函數的'單調遞減區間有三個： 、 和
二．求函數最值：
例2：求下列函數的最小值：
（1） ；
（2） ， ．
【解】
（１）
∴當 時， ；
（２）因為函數 在 上是單調減函數，所以當 時函數 取得最小值為 ．
追蹤訓練一
1. 函數 在 上的最小值（A ）
與 的取值有關
不存在
2. 函數 的最小值是 ０ ，最大值是 ．
3. 求下列函數的最值：
(1) ；
(2)
析：因為函數的最值是值域中的最大值和最小值，所以求函數的最值的方法有時和求函數值域的方法是相仿的．
解：(1) ; ;
所以當 時， ；當 時， ；
(2)函數 是一次函數，且
故 在區間 上是增函數
所以當 時， ；
當 時， ；
【選修延伸】
含參數問題的最值：
例３: 求 ， 的最小值．
【解】
，其圖象是開口向上，對稱軸為 的拋物線．
①若 ，則 在 上是增函數，∴ ；
②若 ，則 ；
③若 ，則 在 上是減函數，∴ 的最小值不存在．
點評:
含參數問題的最值，一般情況下，我們先將參數看成是已知數，但不能解了我們再進行討論！
思維點拔：
一、利用單調性寫函數的最值？
我們可以利用函數的草圖，如果函數在區間 上是圖像連續的，且在 是單調遞增的，在 上是單調遞減的，則該函數在區間 上的最大值一定是在 處取得；同理，若函數在區間 上是圖像連續的，且在 是單調遞減的，在 上是單調遞增的，則該函數在區間 上的最小值一定是在 處取得．
追蹤訓練
１．函數 的最大值是
( D)
2. =x2+ 的最小值為( C )
A.0B. C.1D不存在.
3. 函數 在區間 上的最大值為 ，則 ____ ____．
4.函數 的最大值為 .
5．已知二次函數 在 上有最大值4，求實數 的值．
解：函數 的對稱軸為 ，
當 時，則當 時函數取最大值 ，即 即 ；
當 時，則當 時函數取得最大值 ，即 ，即
所以， 或 。
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