普通高中課程數(shù)學(xué)教案
《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)4》第一章“三角函數(shù)”簡介
函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律應(yīng)當(dāng)用不同的函數(shù)來刻畫。三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要作用，它是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的又一類重要的基本初等函數(shù)。本章中，學(xué)生將在數(shù)學(xué)1中學(xué)習(xí)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用．通過本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生將進(jìn)一步加深對函數(shù)概念的理解，提高用函數(shù)概念解決問題的能力。
一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)
本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)及其基本性質(zhì)。通過本章學(xué)習(xí)，要引導(dǎo)學(xué)生：
1．了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化；
2．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；
3．借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（的正弦、余弦、正切），能畫出y=sin x，y=cos x，y=tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；
4．借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等）；
5．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1，；
6．結(jié)合具體實(shí)例，了解的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出的圖象，觀察參數(shù)A對函數(shù)圖象變化的影響；
7．會用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題，體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。
二、內(nèi)容安排
本章共安排了6個(gè)小節(jié)以及兩個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí)，大體分配如下（僅供參考）：
1.1 任意角和弧度制 約2課時(shí)
1.2 任意角的三角函數(shù) 約3課時(shí)
1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 約2課時(shí)
1.4 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 約4課時(shí)
1.5 函數(shù)y=Asin( φ)的圖象 約2課時(shí)
1.6 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 約2課時(shí)
小結(jié) 約1課時(shí)
本章知識結(jié)構(gòu)如下：
1．本章學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識，在數(shù)學(xué)1中建立的函數(shù)概念，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)；主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)的概念，圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用；單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀，可以使學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)，因此三角函數(shù)的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想；三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其他學(xué)科（特別是物理、地理）有緊密聯(lián)系，因此本章的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。
2．為了加強(qiáng)三角函數(shù)學(xué)習(xí)的目的性，本章采用月相變化圖和簡諧運(yùn)動圖的組合作為章頭圖，并以“大到宇宙天體運(yùn)行，小到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無處不在”為開篇語，再在章前引言中明確提出“三角函數(shù)是刻畫周期性變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”。這樣的安排使得三角函數(shù)的作用體現(xiàn)得更加清楚，也能使學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)三角函數(shù)的意義。
3．任意角的三角函數(shù)可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點(diǎn)。過去習(xí)慣于用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現(xiàn)出從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的推廣，有利于引導(dǎo)學(xué)生從自己已有認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，但它對準(zhǔn)確把握三角函數(shù)的本質(zhì)有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系有沖突，而且“比值”需要通過運(yùn)算才能得到，這與函數(shù)值是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)也有不同，這些都會影響學(xué)生對三角函數(shù)概念的理解。
本章利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)。
如圖1，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，記作sinα，即
sinα=y；
x叫做α的余弦，記作cosα，即
cosα=x。
圖1
這個(gè)定義清楚地表明了正弦、余弦函數(shù)中從自變量到函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，也表明了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系。另外，如果α是弧度數(shù)，即∠xOP=αrad，那么正弦、余弦函數(shù)就是關(guān)于任意實(shí)數(shù)α的函數(shù)，這時(shí)的自變量和函數(shù)值都是實(shí)數(shù)，這就與數(shù)學(xué)1中給出的一般函數(shù)概念完全一致了。事實(shí)上，在弧度制（這是一種用半徑來度量角的方法）下，角度和長度的單位是統(tǒng)一的，正是這種單位的統(tǒng)一，使得我們可以這樣來描述這兩個(gè)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：
把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)）t被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P（cost，sint）。
基于上述理由，我們認(rèn)為這樣的定義可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，也正是三角函數(shù)的這種形式?jīng)Q定了它們在數(shù)學(xué)（特別是應(yīng)用數(shù)學(xué)）中的重要性。事實(shí)上，后續(xù)的內(nèi)容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數(shù)。
另外，這樣的定義使得三角函數(shù)所反映的數(shù)與形的關(guān)系更加直接，數(shù)形結(jié)合更加緊密，這就為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)帶來方便，也使三角函數(shù)更加好用了。例如從定義可以方便地推導(dǎo)同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單位圓為討論三角函數(shù)的性質(zhì)提供了很好的直觀載體，我們可以借助單位圓，直接從定義出發(fā)討論三角函數(shù)的性質(zhì)……
當(dāng)然，這個(gè)定義與人們熟悉的用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的“比值”來定義是等價(jià)的，這正是教科書在1.2.1中安排例2的原因。
4．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式過去是從求三角函數(shù)值引入的，把，，，的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)關(guān)系作為誘導(dǎo)公式，并且把關(guān)于的誘導(dǎo)公式作為和（差）角公式的推論給出。本教科書改變了這種做法。教科書借助單位圓，先引導(dǎo)學(xué)生討論了這些角的終邊與角α的終邊之間的對稱關(guān)系，然后根據(jù)三角函數(shù)定義導(dǎo)出所有誘導(dǎo)公式。這樣，既能很好地反映誘導(dǎo)公式的本質(zhì)（圓的對稱性的代數(shù)表示），又使它們成了一個(gè)有機(jī)的整體。另外，去掉了關(guān)于的誘導(dǎo)公式（因?yàn)樗c－α的誘導(dǎo)公式等價(jià)），增加了的誘導(dǎo)公式。為了使學(xué)生盡快熟悉并形成使用弧度制的習(xí)慣，在誘導(dǎo)公式中全部采用了弧度制。
5．正弦、余弦函數(shù)按照從函數(shù)的定義到作函數(shù)圖象再到討論函數(shù)性質(zhì)最后到函數(shù)模型應(yīng)用的順序展開，三角恒等變換不再穿插其中，這一順序與研究其他函數(shù)的順序一致，使得三角函數(shù)的研究更加簡潔．另外，把周期性作為第一條性質(zhì)，目的是為了體現(xiàn)它的重要性。正切函數(shù)先利用誘導(dǎo)公式、單位圓討論性質(zhì)，然后再利用性質(zhì)作圖象，這樣做的目的是為了使學(xué)生體會可以從不同角度討論函數(shù)性質(zhì)。
6．對函數(shù)圖象的研究，由于涉及的參數(shù)有3個(gè)，因此本章采取先討論某個(gè)參數(shù)對圖象的影響（其余參數(shù)相對固定），再整合成完整的問題解決的方法安排內(nèi)容，具體線索如下：
（1）探索φ對y＝sin(x+φ)的圖象的影響；
（2）探索ω對y＝sin(ωx+φ)的圖象的影響；
（3）探索A對y＝Asin(ωx+φ)的圖象的影響；
（4）上述三個(gè)過程的合成。
在對上述四個(gè)問題的具體討論中，先讓學(xué)生對參數(shù)賦值，形成對圖象變化的具體認(rèn)識，然后再推廣到一般情形。
這樣安排既分散了難點(diǎn)，又使學(xué)生形成清晰的討論線索，從中能使學(xué)生學(xué)習(xí)到如何將復(fù)雜問題分解為簡單問題并“各個(gè)擊破”，然后整合為整個(gè)問題的解決的思想方法，培養(yǎng)有條理地思考的習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。
7．“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”是一個(gè)新增內(nèi)容，主要以舉例的方式說明三角函數(shù)模型的應(yīng)用方法。選擇的問題包括：
（1）用已知的三角函數(shù)模型解決問題；
（2）將復(fù)雜的函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為等基本初等函數(shù)解決問題；
（3）根據(jù)問題情景建立精確的三角函數(shù)模型解決問題；
（4）通過數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)據(jù)建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問題。
安排本節(jié)內(nèi)容的目的是要讓學(xué)生感受到三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用，體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，以使學(xué)生體會三角函數(shù)的價(jià)值和作用，增強(qiáng)應(yīng)用意識，同時(shí)還要使學(xué)生加深理解有關(guān)知識。在安排內(nèi)容時(shí)，特別注意了數(shù)學(xué)應(yīng)用過程的完整性，加強(qiáng)了對問題情景和解題思路的分析，以及解題后的反思這兩個(gè)環(huán)節(jié)。這樣做可以保持?jǐn)?shù)學(xué)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思維水平，提高學(xué)生對相應(yīng)的思想方法的認(rèn)知層次，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣。
三、編寫中考慮的幾個(gè)問題
1．加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想。
從三角函數(shù)的定義方法可以看出，三角函數(shù)及其性質(zhì)與圓有著直接的聯(lián)系。事實(shí)上，任意角、任意角的三角函數(shù)，三角函數(shù)的性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等），同角三角函數(shù)的關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的圖象等，都可以借助單位圓得到認(rèn)識，這也是人們也把三角函數(shù)稱作“圓函數(shù)”的原因。因此，在三角函數(shù)的研究中，借助單位圓進(jìn)行幾何直觀是非常重要的手段，而且這也是使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)會數(shù)形結(jié)合地思考和解決問題的好機(jī)會。
為了發(fā)揮單位圓在幾何直觀中的作用，教科書在引進(jìn)弧度制時(shí)就滲透了單位圓概念，并在講三角函數(shù)概念之前給出單位圓概念，然后直接由單位圓引出三角函數(shù)定義。在后續(xù)內(nèi)容的處理中，始終以單位圓作為一個(gè)載體。
例如三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，教科書引導(dǎo)學(xué)生利用單位圓的對稱性，通過討論單位圓上對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系來發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式，使得誘導(dǎo)公式二~公式六都與單位圓上的對稱圖形（即角的終邊的對稱性）聯(lián)系在一起，從而使這五組公式形成一個(gè)有機(jī)整體．
數(shù)形結(jié)合的思想表現(xiàn)在由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個(gè)方面。教科書在討論三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，一方面從函數(shù)的圖象和單位圓中的三角函數(shù)線兩個(gè)角度出發(fā)來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，另一方面又在討論正切函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上再研究函數(shù)的圖象．
2．強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的思想。
教科書在開篇語中通過列舉大量現(xiàn)實(shí)世界中的周期變化現(xiàn)象，并提出現(xiàn)實(shí)問題中不同的變化規(guī)律需要不同的函數(shù)來刻畫，而三角函數(shù)就是刻畫周期變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，這樣可以使學(xué)生在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)之初就明確三角函數(shù)的地位作用。在研究三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)時(shí)，盡量結(jié)合物理中的簡諧運(yùn)動等典型實(shí)例。為了加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型思想，教科書專門設(shè)置了“三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用”一節(jié)，通過典型實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析實(shí)際問題、建立三角函數(shù)模型、用三角函數(shù)模型解決問題的基本過程，以使學(xué)生更好地體會三角函數(shù)在解決周期變化現(xiàn)象時(shí)的作用，例如本節(jié)的例4由給出的潮起潮落的變化數(shù)據(jù)，通過作散點(diǎn)圖，選擇函數(shù)模型，建立函數(shù)模型，并用得到的函數(shù)模型解決有關(guān)問題，就是一個(gè)比較完整的建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程。通過這樣的例子，可以使學(xué)生用三角函數(shù)刻畫周期現(xiàn)象的過程與方法。
另外，本章突出了對三角函數(shù)及其性質(zhì)的研究這條主線，對于其他一些細(xì)節(jié)，例如求函數(shù)的定義域、值域，用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行恒等變形等等，都作了淡化處理．
3．通過問題引導(dǎo)學(xué)生主動思維，使學(xué)生得到思維訓(xùn)練
為了引導(dǎo)學(xué)生主動思考，教科書利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置了大量問題。這些問題有的是從刻畫實(shí)際問題的需要而產(chǎn)生的，例如任意角概念的引入，三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)的研究，函數(shù)的圖象的研究等，更多的是從數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)部提出的，例如用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)后，自然要提出圓的性質(zhì)與三角函數(shù)性質(zhì)之間關(guān)系的問題，而這個(gè)問題恰好是討論同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系與單位圓中直角三角形；誘導(dǎo)公式與圓的對稱性；三角函數(shù)的周期性與圓周長；三角函數(shù)的單調(diào)性與單位圓中有向線段的變化規(guī)律……總之，教科書利用知識的發(fā)生發(fā)展過程來自然地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生層層深入地進(jìn)行思考，可以使學(xué)生得到思維方法上的訓(xùn)練。
類比、聯(lián)系、推廣、化歸等是數(shù)學(xué)研究中的常用方法，本章努力引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這些方法。例如，通過類比長度、重量的不同度量單位引入弧度制；聯(lián)系一般函數(shù)性質(zhì)的研究思路引出研究三角函數(shù)性質(zhì)的思路；從單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)定義；研究函數(shù)的圖象，按照y=sinx──y=sin(x+φ)──y=sin( φ)──的線索展開，體現(xiàn)了從簡單到復(fù)雜、由特殊到一般的化歸方法．
對于那些可以直接類比或經(jīng)過簡單推論就可以得出的結(jié)論，教科書利用“思考”“探究”欄目，通過“留白”的方式讓學(xué)生自己思考探究而得出結(jié)果．例如，特殊角的角度與弧度的關(guān)系表；三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)值的符號；余弦函數(shù)性質(zhì)的研究；由y=sinx的`圖象到的圖象，等等。
4．適當(dāng)使用信息技術(shù)
在本章，信息技術(shù)的使用在如下幾個(gè)方面得到體現(xiàn)：一是利用信息技術(shù)工具進(jìn)行角度制、弧度制的單位互換，求三角函數(shù)值，作函數(shù)圖象等；二是利用信息技術(shù)研究問題；三是利用“信息技術(shù)使用”欄目提供彈性內(nèi)容。例如，在利用計(jì)算機(jī)通過單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象時(shí)，將三角函數(shù)的定義、單位圓中的三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象等諸方面緊密聯(lián)系在一起，并通過角的變化，將這種聯(lián)系直觀地、動態(tài)地表現(xiàn)出來；在三角函數(shù)模型的應(yīng)用中，既強(qiáng)調(diào)了信息技術(shù)工具對數(shù)據(jù)處理的必要性，又突出了信息技術(shù)工具在函數(shù)作圖中的優(yōu)勢，還提出了利用信息技術(shù)進(jìn)行函數(shù)的擬合；與算法聯(lián)系，設(shè)置了“用信息技術(shù)制作三角函數(shù)表”，等等．
考慮到我國各地在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用信息技術(shù)的不平衡性，教科書在使用信息技術(shù)上采取了彈性處理，即在適宜使用信息技術(shù)的地方，采用邊空注釋的方法，對信息技術(shù)的使用作出提示或說明。
四、對教學(xué)的幾個(gè)建議
1．準(zhǔn)確把握教學(xué)要求。
與以往的三角函數(shù)內(nèi)容相比較，本章加強(qiáng)了三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，借助單位圓理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及通過建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題等。“標(biāo)準(zhǔn)”對三角函數(shù)內(nèi)容的削減比較多，課時(shí)量也減少了，本章嚴(yán)格按照這種要求，刪減了任意角的余切、正割、余割，三角函數(shù)的奇偶性，已知三角函數(shù)求角，反三角函數(shù)符號，將對三角函數(shù)周期性的一般討論作為選學(xué)內(nèi)容。另外，任意角概念，弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式等都降低了要求。這樣的處理，把重點(diǎn)放在使學(xué)生理解三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用上，而對一些細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容不再作過多要求。教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)把握好這種變化，遵循“標(biāo)準(zhǔn)”所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪減的知識點(diǎn)，也不要引進(jìn)那些繁瑣的、技巧性高的變換題目（例如求定義域、值域；已知，求α的其他三角函數(shù)值；用誘導(dǎo)公式進(jìn)行復(fù)雜變換的問題等）。
2．加強(qiáng)相關(guān)知識的聯(lián)系性，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法。
由于周期現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中廣泛存在，例如單擺運(yùn)動、彈簧振子、圓周運(yùn)動、交流電、音樂、潮汐、波浪、四季變化、生物鐘等，因此它是物理、地理、生物、天文等其他學(xué)科研究的對象，這樣，本章內(nèi)容與其他學(xué)科有緊密聯(lián)系。從數(shù)學(xué)內(nèi)部來說，三角函數(shù)的概念、性質(zhì)與圓的知識有緊密聯(lián)系，在整個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容的討論中，單位圓發(fā)揮了關(guān)鍵作用。因此教學(xué)中應(yīng)充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、其他學(xué)科的知識以及關(guān)于圓的性質(zhì)方面的知識，使三角函數(shù)的學(xué)習(xí)建立在豐富的背景上。
從數(shù)學(xué)思想方法看，本章重點(diǎn)是數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)形結(jié)合思想。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用章引言提供的情景，引導(dǎo)學(xué)生從“刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”的角度來認(rèn)識三角函數(shù)，使學(xué)生從學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度看三角函數(shù)的意識。在此基礎(chǔ)上，要充分注重運(yùn)用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用三角函數(shù)模型描述周期現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的全過程。
前已指出，本章討論的內(nèi)容都可以用單位圓作為直觀工具。因此，為了更好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)中要充分發(fā)揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學(xué)生形成用單位圓討論三角函數(shù)問題的意識和習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生自主地用單位圓探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，提高分析和解決問題的能力。
三角函數(shù)是學(xué)生在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的又一個(gè)基本初等函數(shù)，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)1中學(xué)到的研究函數(shù)的方法為指導(dǎo)來學(xué)習(xí)本章知識，即要結(jié)合三角函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解集合與對應(yīng)觀點(diǎn)下的函數(shù)概念，函數(shù)中研究的基本問題和基本思路（根據(jù)刻畫現(xiàn)實(shí)中周期現(xiàn)象的需要，引進(jìn)三角函數(shù)來描述周期性變化的規(guī)律；在遇到一個(gè)新的函數(shù)時(shí)，總要看看它的圖象、單調(diào)性、有沒有特殊取值等等），這樣可以使學(xué)生學(xué)習(xí)在高觀點(diǎn)指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的思想方法，這對提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)思維水平是非常有幫助的。同樣的，在討論 的圖象時(shí)，實(shí)際上涉及函數(shù)變換與圖象變換（圖象的平移、伸縮與函數(shù)變換的關(guān)系），需要數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)，雖然教師不一定要明確地向?qū)W生指出，但教學(xué)時(shí)還是要注意滲透．
3．恰當(dāng)使用信息技術(shù)
在下列內(nèi)容的教學(xué)中，應(yīng)積極鼓勵學(xué)生使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，以加強(qiáng)知識的發(fā)生發(fā)展過程，加深對有關(guān)概念的認(rèn)識，突破學(xué)習(xí)中可能遇到的困難。
（1）終邊相同的角的概念的認(rèn)識；
（2）弧度制的認(rèn)識，弧度與角度的互化，非特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，sin-1，cos-1，tan-1的使用；
（3）任意角的三角函數(shù)的定義，用三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切函數(shù)；
（4）畫三角函數(shù)的圖象，用三角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的性質(zhì)；
（5）畫函數(shù)y=Asin( φ)的圖象，探索A、ω、φ對 圖象的影響；
（6）根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)擬合函數(shù)圖象．
學(xué)好高中數(shù)學(xué)也需閱讀積累
閱讀，在語文中要抓住精煉的或生動形象的詞與句，而在數(shù)學(xué)中，則應(yīng)抓住關(guān)鍵的詞語。比如在初二課本第一學(xué)期第21章第五節(jié)反比例函數(shù)性質(zhì)的第一條：“當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)，自變量x逐漸增大時(shí)，y的值則隨著逐漸減小。&rdquo 高中歷史;這句話中，關(guān)鍵詞語是“在每個(gè)象限內(nèi)”，反比例函數(shù)的圖像為雙曲線，而這個(gè)性質(zhì)是對于其中某一分支而言，并不是對整個(gè)函數(shù)來說的。所以在做題時(shí)，應(yīng)注意到這一點(diǎn)。從這一實(shí)例來看，我們不難發(fā)現(xiàn)閱讀時(shí)抓住關(guān)鍵詞語的重要性。
積累，在語文中有利于寫作，在數(shù)學(xué)中有利于解題。積累包括兩方面：一、概念知識，二、錯(cuò)誤的題目。腦子中多一些概念就多了一些思考的方法，多了一些解題的突破口，在做較難的題目時(shí)，也就得心應(yīng)手了。積累錯(cuò)誤的題目，指挑選一些自己平時(shí)易錯(cuò)或難懂的題目，記在本子上，在復(fù)習(xí)時(shí)，翻看這本本子就能更加清楚地了解自己在哪些方面還有所欠缺，應(yīng)特別注意。所以積累對學(xué)好數(shù)學(xué)起著極大的作用。
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)法：“拉車”也要“抬頭看路”
編者按：小編為大家收集了“高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)法：“拉車”也要“抬頭看路””，供大家參考，希望對大家有所幫助!
“不但要會埋頭拉車，還要會抬頭看路”是我對高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的一貫見解。高考是一場成王敗寇的殘酷競爭，它是公平的也是不公平的，說高考公平是因?yàn)樗腥硕紝⒚鎸ν瑯拥臅r(shí)間、知識、試卷;說高考不公平是因?yàn)閷γ總�(gè)人來說信息并不對稱——對高考分析透徹的人自然擁有更高的復(fù)習(xí)效率必然會取得更出色的成績。
這里我強(qiáng)調(diào)的并不是高中的基礎(chǔ)知識掌握程度而是復(fù)習(xí)的效率問題，誰的基礎(chǔ)知識更牢固誰將取得更好的高考成績這是一個(gè)鐵的事實(shí)，但它是建立在“所有人的復(fù)習(xí)效率都是相同的”這個(gè)假設(shè)之下的，所以大家經(jīng)常可以看到有些高考考生學(xué)的嘔心瀝血卻永遠(yuǎn)只是中游水平，而另一些高考生擁有大量的休閑活動卻仍然能名列前茅。
造成這種現(xiàn)象的原因很多人會歸結(jié)為“智商”和“運(yùn)氣”，我也不否認(rèn)這兩方面的因素，但最主要的原因還是效率問題：兩個(gè)高考生同樣學(xué)了一個(gè)小時(shí)的數(shù)學(xué)，一個(gè)人領(lǐng)悟了一個(gè)高考非常容易考到的重點(diǎn)內(nèi)容，而另一個(gè)人啃下了一個(gè)非常難于理解的但是高考從來沒有考過的難點(diǎn)內(nèi)容，那么這樣日積月累下來第一個(gè)人對高考真題考點(diǎn)的掌握就會遠(yuǎn)高于后者。這就是我說的“不但要會埋頭拉車，還要會抬頭看路”的意思，“拉車”就是指認(rèn)真的復(fù)習(xí)，而“看路”則是指認(rèn)清高考考察的重點(diǎn)，把握住高考復(fù)習(xí)的方向。“拉車”基本上是每個(gè)高三學(xué)生都能夠作到的，但是“看路”就不盡然了，起早貪黑卻勞而無功的高考生都是沒有解決好復(fù)習(xí)方向的問題，沒有看好“路”。
現(xiàn)在這個(gè)階段是高三文科剛開始復(fù)習(xí)而理科將近結(jié)課的階段，屬于高考復(fù)習(xí)的初期，這一階段給大家的建議是：
第一：先看一下近三、五年的高考真題，并不要去做這些高考真題，而是要從中分析出那些是真正的高考考點(diǎn)，從而為整個(gè)一年的高考復(fù)習(xí)定下一個(gè)正確的基調(diào)。
無法分清考點(diǎn)的輕重是最常見的問題，比如高考中《函數(shù)》與《導(dǎo)數(shù)》兩部分的關(guān)系就是一個(gè)非常容易使人混亂的地方。《函數(shù)》是高一的重點(diǎn)章節(jié)，學(xué)校會反復(fù)強(qiáng)調(diào)它的重要性，說它在高考中占多少多少比例等等，而《導(dǎo)數(shù)》則只是高三中的一個(gè)輔助章節(jié)尤其是文科，它的章節(jié)比重很小，學(xué)校強(qiáng)調(diào)的也不夠。這就給大家一個(gè)錯(cuò)覺就是函數(shù)比導(dǎo)數(shù)重要，但是事實(shí)上在真正的高考中它們兩者的位置恰恰相反，函數(shù)的考查只有3至4道小題而且都位于試卷前幾道題十分簡單，其它問題雖然大量使用函數(shù)思想但是對同學(xué)們解題沒有實(shí)質(zhì)上的影響。反觀導(dǎo)數(shù)它在高考中直接占有一道大題特別是07年的文科試題，它取代了《數(shù)列》的地位成為了倒數(shù)第二位的 14分難題，同時(shí)只要遇到“函數(shù)單調(diào)性”“極值”“最值”“值域相關(guān)問題”“切線問題”等都要使用導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行解決。當(dāng)然函數(shù)的單調(diào)、極值等可以用《函數(shù)》知識處理但比起導(dǎo)數(shù)來說這是十分煩瑣的。
所以說導(dǎo)數(shù)的地位要遠(yuǎn)比函數(shù)來的重要，這一問題往往是影響大家高考復(fù)習(xí)效率的一個(gè)關(guān)鍵問題，發(fā)現(xiàn)它并不需要“智商”和“運(yùn)氣”，只要看一遍近幾年高考真題即可，這就是我第一條建議的重點(diǎn)所在。
第二：分析自己的實(shí)力特征，果斷對知識點(diǎn)進(jìn)行取舍。高考是選拔性的考試，并不要求我們在某個(gè)單科中考出滿分，只要高考總成績能夠勝出就可以，所以我們一定要根據(jù)自己的真實(shí)水平對整個(gè)高考復(fù)習(xí)作一個(gè)規(guī)劃。07年天津市理科狀元的數(shù)學(xué)成績只有138分，并不是傳奇的150，他其他的高考科目也都是很高但遠(yuǎn)沒達(dá)到最高，這就說明了我們要合理分配自己的精力使自己的能力得以最大的發(fā)揮。這一點(diǎn)就是要告戒大家千萬不能偏科，我們身邊經(jīng)常有一些高考考生他們某幾門學(xué)科成績十分優(yōu)異(高于狀元)，但總成績只能達(dá)到中游或中上的水平，他們最大的問題就是時(shí)間分配，如果他們節(jié)省出一部分花在強(qiáng)勢學(xué)科上的時(shí)間轉(zhuǎn)移到弱勢學(xué)科上，他們必將取得更好的成績。
第三：正確對待模擬考試與模擬題。如果已經(jīng)看過高考真題的同學(xué)很容易發(fā)現(xiàn)高考真題與模擬題有著天壤之別，大多數(shù)模擬題尤其是出自低級別地方的，根本無法達(dá)到高考真題的水平，做它們是無法真實(shí)反映大家在高考中的表現(xiàn)的。所以大家在現(xiàn)階段應(yīng)該首先看“題”是否值得作再看作的是否好，這才是正確的方法。
以上就是為大家提供的“高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)法：“拉車”也要“抬頭看路””希望能對考生產(chǎn)生幫助，更多資料請咨詢中考頻道。
2016年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：極限思想解題步驟
2013年高考將于6月7日、8日舉行，高考頻道編輯為廣大考生整理了高考數(shù)學(xué)考試重點(diǎn)及常用公式，幫助大家有效記憶。
高考數(shù)學(xué)解題思想：極限思想
極限思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想解決問題的一般步驟為：(1)對于所求的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量;(2)確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量;(3)構(gòu)造函數(shù)(數(shù)列)并利用極限計(jì)算法則得出結(jié)果或利用圖形的極限位置直接計(jì)算結(jié)果。
例8 已知點(diǎn)A(0,■),B(0,-■),C(4+■,0)其中n為正整數(shù)，設(shè)Sn表示△ABC外接圓的面積，則■Sn= 。
分析：本題的一般解題方法為求出△ABC的外接圓Sn的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)列極限的計(jì)算法則得出結(jié)果。這一方法有一定的運(yùn)算量，如果我們能根據(jù)圖形看出當(dāng)n→∞時(shí)△ABC的極限位置是一條線段，其端點(diǎn)坐標(biāo)為M(0,0)，N(4,0),故它的外接圓有極限位置是以為MN直徑的圓。
解：■Sn=4π。
例9 將直線l1:nx+y-n=0、l2:x+ny-n=0(n∈N?鄢)、x軸、y軸圍成的封閉區(qū)域的面積記為Sn，則■Sn= 。
分析：將直線l1,l2的方程化為l1:y=-n(x-1)，l2:y=-■x+1,當(dāng)n→∞時(shí)，它們的極限位置分別為直線x=1和直線y=1，于是它們與x,y軸圍成的圖形是邊長為1的正方形。
解：■Sn=1。
高中數(shù)學(xué)定理公式口訣記憶法（三）
五、《復(fù)數(shù)》
虛數(shù)單位i一出，數(shù)集擴(kuò)大到復(fù)數(shù)。一個(gè)復(fù)數(shù)一對數(shù)，橫縱坐標(biāo)實(shí)虛部。
對應(yīng)復(fù)平面上點(diǎn)，原點(diǎn)與它連成箭。箭桿與X軸正向，所成便是輻角度。
箭桿的長即是模，常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。
代數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，有i多項(xiàng)式運(yùn)算。i的正整數(shù)次慕，四個(gè)數(shù)值周期現(xiàn)。
一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實(shí)互化本領(lǐng)大，復(fù)數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。
利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運(yùn)算圖上看，加法平行四邊形，
減法三角法則判;乘法除法的運(yùn)算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長短。
三角形式的運(yùn)算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。
輻角運(yùn)算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛，
兩個(gè)不會為實(shí)數(shù)，比較大小要不得。復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。
六、《排列、組合、二項(xiàng)式定理》
加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。
兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。
排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。
不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。
關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。
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化歸與轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用
一、知識整合
1.解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對來說，對自己較熟悉的問題)，通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為"化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法"。
2.化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。
3.轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性;在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。
高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)整理
【摘要】高三的同學(xué)們正在第一輪的復(fù)習(xí)階段，小編為同學(xué)們整理了高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)，供大家參考，大家要好好復(fù)習(xí)哦。
重視課堂
雖然高三大部門時(shí)間都是對以前的知識進(jìn)行復(fù)習(xí)，但是同學(xué)們?nèi)匀灰匾曊n堂。有些學(xué)生自認(rèn)為有一套很好的復(fù)習(xí)方法，上課不聽講，完全按照自己的進(jìn)度來復(fù)習(xí)，最后往往會碰得“頭破血流”。另外，在聽課的同時(shí)，一定要做好筆記。曾有一位某市的高考狀元，每天做的最多的事情，就是翻看那本數(shù)學(xué)筆記，一邊看一邊做。筆記中不管是提煉的知識點(diǎn)，總結(jié)的做題方法還是經(jīng)典例題，都是課堂中的精華，同學(xué)們一定要好好利用。
高效率地做題
數(shù)學(xué)是需要大量做題的科目，那么如何提高做題的效率呢?首先要進(jìn)行總結(jié)。例如要總結(jié)題目是什么類型?如何利用已知條件?突破點(diǎn)是什么?一般的解題方法、步驟是什么?在總結(jié)之后，有針對性地找一些相關(guān)題目進(jìn)行練習(xí)，數(shù)量不用太多，幾道典型的題目就可以了。這里要提一點(diǎn)的是，一定要做有準(zhǔn)確答案的題目，沒有答案的題目，做完不知道正誤，就等于白做。做完以后對答案，這時(shí)候不僅要注意解題方法，更要注意解題步驟。很多時(shí)候明明會做的題目卻被扣分了，原因就是解題步驟不全。對于做錯(cuò)的題目要加入錯(cuò)題本，進(jìn)行分析，看看是方法沒掌握，步驟不完全，還是馬虎出錯(cuò)。只有這樣才能高效率地復(fù)習(xí)，突破數(shù)學(xué)難關(guān)。
制定學(xué)習(xí)計(jì)劃
高三的節(jié)奏快，有很多科目要復(fù)習(xí)，同時(shí)又要做大量的習(xí)題。這時(shí)候，制定合理的學(xué)習(xí)計(jì)劃就顯得非常重要。首先，學(xué)習(xí)計(jì)劃要符合自身的學(xué)習(xí)情況。不要在老師布置很多作業(yè)的情況下，又讓自己額外做兩套卷子。這樣就算完成了“任務(wù)”，質(zhì)量也不能保證。計(jì)劃一定要量力而行。其次，計(jì)劃最好不要太詳細(xì)。有的同學(xué)的計(jì)劃細(xì)致到每5分鐘做什么，每個(gè)課間做什么，這樣的計(jì)劃很容易被打亂。計(jì)劃最好是定量不定時(shí)的，比如計(jì)劃在完成作業(yè)的基礎(chǔ)上額外做10道選擇題，可以在任何時(shí)間完成，只要做完了就好。最后，也是最重要的一點(diǎn)，制定了合理的計(jì)劃，一定要嚴(yán)格執(zhí)行。不能總是“放任”自己，那樣計(jì)劃也就是紙上談兵了。
在復(fù)習(xí)的時(shí)候一定要有一個(gè)良好的心態(tài)，不要太過急躁，須知“冰凍三尺非一日之寒”。想要在短時(shí)間內(nèi)提升很高的成績也是不可能的。只要我們做好這四十幾天的復(fù)習(xí)計(jì)劃，一定要把最基礎(chǔ)的知識掌握住，在高考中就能取得一個(gè)不錯(cuò)的成績。
【總結(jié)】高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)就為大家整理到這里了，希望大家在高三期間好好復(fù)習(xí)，為高考做準(zhǔn)備，大家加油。
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