數學《中位線》教案
中位線
【知識與技能】
1.經歷三角形中位線的性質定理形成過程.
2.掌握三角形中位線的性質定理，并能利用它解決簡單的問題.
3.通過命題的教學了解常用的輔助線的作法，并能靈活運用它們解題，進一步訓練說理的能力.
【過程與方法】
通過學習，進一步培養自主探究和合作交流的學習習慣.
【情感態度】
進一步了解特殊與一般的辯證唯物主義觀點、轉化的思想.
【教學重點】
三角形中位線的性質定理.
【教學難點】
三角形中位線的性質定理的應用.
一、情境導入，初步認識
在前面23.3節中，我們曾解決過如下的問題：如圖，△ABC中，DE∥BC,則△ADE∽△ABC.由此可以進一步推知，當點D是AB的中點時，點E也是AC的中點.現在換一個角度考慮，如果點D、E原來就是AB與AC的中點，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE與BC之間存在什么樣的數量關系呢？
二、思考探究，獲取新知
1.猜想：從畫出的圖形看，可以猜想：
DE∥BC,且DE= BC.
2.證明：如圖，△ABC中，點D、E分別是AB與AC的中點，∴ .∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC（如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似）,∴∠ADE=∠ABC, 相似三角形的對應角相等，對應邊成比例），
∴DE∥BC且DE= BC.
思考：本題還有其他的解法嗎？
已知：如圖所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC.求證：DE∥BC,DE= BC.
【分析】要證DE∥BC,DE= BC,可延長DE到F，使EF=DE，于是本題就轉化為證明DF=BC，DE∥BC,故只要證明四邊形BCFD為平行四邊形.
還可以作如下的輔助線.
【歸納結論】我們把連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，并且有三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
【教學說明】介紹中位線時，強調它與中線的區別.
例1 求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.
已知：如圖，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求證：AE、DF互相平分.
【分析】要證AE、DF互相平分，即要證四邊形ADEF為平行四邊形.
證明：連結DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,
∴DE∥AC，同理可得EF∥BA.
∴四邊形ADEF是平行四邊形.
∴AE、DF互相平分.
例2 如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點，AD、CE相交于點G.求證： .
【分析】有兩邊中點易想到連接兩邊中點構造三角形的中位線.
思考：在例2的圖中取AC的中點F，假設BF與AD相交于點G′，如圖，那么我們同理可得 ，即兩圖中的G與G′是重合的，由此我們可以得出什么結論?
歸納：三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的連線的長是對應中線長的 .
三、運用新知，深化理解
1.如圖，在?ABCD中，有E、F分別是AD、BC上的點，且DE=CF，BE和AF的交點為M，CE和DF的'交點為N.求證：MN∥AD,MN=12AD.
2.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E、F分別是AB、CD的中點，且AC=BD.求證：OM=ON.
【答案】1.解：連結EF，證四邊形ABFE和四邊形DCFE均為平行四邊形，得FM=AM，FN=DN，∴MN∥AD,MN= AD.
2.解：取BC的中點G，連接EG，FG，
∵BG=CG，BE=AE，∴GE= AC，EG∥AC
∴∠ONM=∠GEF，同理GF= BD，
∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，
∴GE=GF,∴∠GEF=∠GFE，
∴∠ONM=∠OMN，
∴OM=ON.
【教學說明】引導學生取BC的中點，構造中位線.
四、師生互動，課堂小結
1.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
2.三角形中位線定理的應用.
3.三角形重心的性質.
1.布置作業：從教材相應練習和“習題23.4”中選取.
2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.
本課時從學過的知識入手猜想中位線的性質，并通過動手畫圖、操作，證明猜想，體會知識的形成過程，加深對知識的理解.在證明的過程中舉一反三，用多種方法證明三角形中位線定理，通過具體的實例分析，提高學生應用知識的能力.
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